A maior rede de estudos do Brasil

Física?

Física

PUC-RIO


4 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

User badge image

RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Um móvel realiza um movimento circular uniforme em que a equação horária é s(t) = 16 + 10t, com unidades do Sistema Internacional. O raio da trajetória é igual a 2,0 m. Determine:

a) A equação horária do espaço angular do movimento;

b) o período e a frequência do movimento.

Resolução

---

Para resolver essa questão é necessário empregar conceitos de cinemática, como equação do movimento e movimento circular uniforme.

---

No caso, foi dada a equação de movimento do móvel em termos de espaço (s) em função do tempo (t), na qual 16 corresponde à localização ocupada pelo móvel no início do movimento e 10, a sua velocidade constante. Para resolver o item a) deve-se transformá-la para que fique em termos de ângulo (θ) em função do tempo (t).

---

O ângulo de um setor circular pode ser definido, em radianos, como sendo a razão do arco sobre o raio da circunferência:


\[\theta = \dfrac{s}{r}\]

Derivando temporialmente tal equação, encontra-se a definição de velocidade angular:


\[\eqalign{ \dfrac{d}{{dt}}\left( \theta \right) &= \dfrac{d}{{dt}}\left( {\dfrac{s}{r}} \right)\quad \to\cr\omega &= \dfrac{v}{r} }\]

Portanto, basta dividir a equação do movimento pelo raio da circunferência para se obter a equação horária do espaço angular do movimento, para responder ao item a):


\[\eqalign{ \left( {s\left( t \right) &= 16 + 10 \cdot t} \right)\dfrac{1}{r}\quad \to\cr\dfrac{{s\left( t \right)}}{r} &= \dfrac{{16}}{r} + \dfrac{{10}}{r} \cdot t\quad \to\cr\theta \left( t \right) &= \dfrac{{16}}{2} + \dfrac{{10}}{2} \cdot t\quad \to\cr\boxed{\theta \left( t \right) &= 8 + 5 \cdot t} }\]

Onde 8 radianos correspondem ao ângulo de início do movimento e 5 rad/s, à frequência ângular (ω).

---

O período e a frequência do movimento podem ser determinados pela seguinte relação:


\[\omega = 2 \cdot \pi \cdot f = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\]

Logo:


\[\eqalign{ f &= \dfrac{\omega }{{2 \cdot \pi }}\quad \to\crf &= \dfrac{5}{{2 \cdot \pi }}\quad \to\cr\boxed{f &= 0,796\;Hz}\crT &= \dfrac{{2 \cdot \pi }}{\omega }\quad \to\crT &= \dfrac{{2 \cdot \pi }}{5}\quad \to\cr\boxed{T &= 1,257\;s} }\]

---

Portanto, a equação horária do movimento angular é θ(t) = 8 + 5t, a frequência do movimento é de 0,796 Hz e seu período é de 1,257 s.

Um móvel realiza um movimento circular uniforme em que a equação horária é s(t) = 16 + 10t, com unidades do Sistema Internacional. O raio da trajetória é igual a 2,0 m. Determine:

a) A equação horária do espaço angular do movimento;

b) o período e a frequência do movimento.

Resolução

---

Para resolver essa questão é necessário empregar conceitos de cinemática, como equação do movimento e movimento circular uniforme.

---

No caso, foi dada a equação de movimento do móvel em termos de espaço (s) em função do tempo (t), na qual 16 corresponde à localização ocupada pelo móvel no início do movimento e 10, a sua velocidade constante. Para resolver o item a) deve-se transformá-la para que fique em termos de ângulo (θ) em função do tempo (t).

---

O ângulo de um setor circular pode ser definido, em radianos, como sendo a razão do arco sobre o raio da circunferência:


\[\theta = \dfrac{s}{r}\]

Derivando temporialmente tal equação, encontra-se a definição de velocidade angular:


\[\eqalign{ \dfrac{d}{{dt}}\left( \theta \right) &= \dfrac{d}{{dt}}\left( {\dfrac{s}{r}} \right)\quad \to\cr\omega &= \dfrac{v}{r} }\]

Portanto, basta dividir a equação do movimento pelo raio da circunferência para se obter a equação horária do espaço angular do movimento, para responder ao item a):


\[\eqalign{ \left( {s\left( t \right) &= 16 + 10 \cdot t} \right)\dfrac{1}{r}\quad \to\cr\dfrac{{s\left( t \right)}}{r} &= \dfrac{{16}}{r} + \dfrac{{10}}{r} \cdot t\quad \to\cr\theta \left( t \right) &= \dfrac{{16}}{2} + \dfrac{{10}}{2} \cdot t\quad \to\cr\boxed{\theta \left( t \right) &= 8 + 5 \cdot t} }\]

Onde 8 radianos correspondem ao ângulo de início do movimento e 5 rad/s, à frequência ângular (ω).

---

O período e a frequência do movimento podem ser determinados pela seguinte relação:


\[\omega = 2 \cdot \pi \cdot f = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\]

Logo:


\[\eqalign{ f &= \dfrac{\omega }{{2 \cdot \pi }}\quad \to\crf &= \dfrac{5}{{2 \cdot \pi }}\quad \to\cr\boxed{f &= 0,796\;Hz}\crT &= \dfrac{{2 \cdot \pi }}{\omega }\quad \to\crT &= \dfrac{{2 \cdot \pi }}{5}\quad \to\cr\boxed{T &= 1,257\;s} }\]

---

Portanto, a equação horária do movimento angular é θ(t) = 8 + 5t, a frequência do movimento é de 0,796 Hz e seu período é de 1,257 s.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas