Para resolução, deve-se dominar conceitos de propriedades exponenciais de multiplicação e comparação de bases, ou seja, \({x^w}.{x^y} = {x^{w + y}}\) (para uma mesma base, a multiplicação pode ser simplificada pela soma dos expoentes); \({x^y} = {x^w}\) se, e somente, se \(x=y\)

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Assim, resolve-se as equações conforme:

a)\({10^x}{.10^{x + 2}} = 1000\), aplicando as propriedades

\[{10^{x + x + 2}} = {10^3}\]
, aplicando a comparação:

\[2x + 2 = 3\]
, isolando x:

\[x = \dfrac{1}{2}\]

Logo, \(\boxed{V = \{ \dfrac{1}{2}\} }\)

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b) De modo análogo:

\[{(\sqrt {10} )^x}.{(0,01)^{4x - 1}} = \dfrac{1}{{1000}}\]
, igualando as bases:

\[{10^{0,5x}}{.10^{ - 2(4x - 1)}} = {10^{ - 3}}\]
, aplicando a propriedade da soma;

\[{10^{0,5x - 8x + 2}} = {10^{ - 3}}\]
, resolvendo a equação e isolando x:

\[\eqalign{ & \dfrac{1}{2}x - 8x + 2 = - 3 \cr & \dfrac{{ - 15}}{2}x = - 5 \cr & x = \dfrac{2}{3} }\]

Logo, \(\boxed{V = \{ \dfrac{2}{3}\} }\)

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c) \({2^{4x + 1}}{.8^{ - x + 3}} = \dfrac{1}{{16}}\), igualando as bases:

\[{2^{4x + 1}}{.2^{3( - x + 3)}} = {2^{ - 4}}\]
; aplicando a propriedade da soma;

\[{2^{4x + 1 - 3x + 9}} = {2^{ - 4}}\]
, resolvendo e isolando x:

\[\eqalign{ & {2^{4x + 1 - 3x + 9}} = {2^{ - 4}} \cr & 4x + 1 - 3x + 9 = - 4 \cr & x = - 14 }\]

Logo, \(\boxed{V = \{ - 14\} }\)

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d) Por fim,

\[{(\dfrac{1}{9})^{{x^2} - 1}}{.27^{1 - x}} = {3^{2x + 7}}\]
; igualando as bases:

\[\eqalign{ & {3^{ - 2({x^2} - 1)}}{.3^{3(1 - x)}} = {3^{2x + 7}} \cr & - 2{x^2} + 2 + 3 - 3x = 2x + 7 \cr & - 2{x^2} - 5x - 2 = 0 \cr & \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \dfrac{{5 \pm \sqrt {{{( - 5)}^2} - 4.( - 2).( - 2)} }}{{ - 2.2}} }\]

Logo, diferentemente dos demais casos, este chega-se em uma equação quadrática a qual pode facilmente ser resolvida aplicando a Fórmula de Bhaskara, para tal, chega-se finalmente em:

\(x=-2\) e \(x=0,5\)

Logo,\(\boxed{V = \{ \dfrac{{ - 1}}{2}; - 2\} }\)