Calculo Numérico

Seja um retângulo de comprimento a e largura b. Sabe-se que este deve ter área igual a 15.000, logo, a*b = 15000 (1). O comprimento total da cerca L é dado pelo perímetro do retângulo mais o menor lado, ou seja, L = 2(a+b) + a (2). Isolando b em (1) b= 15000/a e substituindo em (2), tem-se: L = 2 ( a + 15000/a ) + a = ( 3a^2 + 30000 ) / a. Para encontrar o menor comprimento da cerca deve-se derivar a expressão do comprimento L e igualar a zero. Logo: 

dL/da = ( a*6a - ( 3a^2 + 3000)*1 ) / a^2 = ( 3a^2 - 30000) / a^2 = 0 -> 3a^2 - 30000 = 0 -> 3a^2 = 30000 -> a^2 = 10000 ; a=100. (3)

Substituindo (3) em (1) tem-se que b = 150. Portando, a melhor forma de fazer é dividindo em um retângulo com comprimento 100 metros e largura 150 metros.

\[\eqalign{ P &= 2x + 2y + x\cr&= 3x + 2y }\]

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Da expressão da área, temos que \(y = \dfrac{{15.000}}{x}\). Substituindo na expressão da quantidade de cerca utilizada, teremos:

\[\eqalign{ P\left( x \right) &= 3x + 2 \cdot \dfrac{{15.000}}{x}\cr&= 3x + \dfrac{{30.000}}{x} }\]

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Para minimizar o custo da cerca, devemos utilizar a menor quantidade possível de cerca. Assim, vamos minimizar \(P\left( x \right)\) fazendo \(\dfrac{{dP}}{{dx}} = 0\). Logo:

\[\eqalign{ 3 - \dfrac{{30.000}}{{{x^2}}} &= 0\cr{x^2} &= 10.000\crx &= 100 }\]

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Substituindo \(x=100\) na expressão de \(y\), teremos:

\[\eqalign{ y &= \dfrac{{15.000}}{{100}}\cr&= 150 }\]

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Portanto, o fazendeiro deve cercar um campo retangular de 100 por 150 e dividir ao meio com uma cerca paralela ao lado de 100 na posição central do lado de 150.