Atividade para avaliação - Semana 2 - Calculo 2 - UNIVESP

A função f é definida por: f(x) = 4 x²+25 y²-90

Para calcularmos o(s) ponto(s) crítico(s) da função f precisamos, primeiramente, derivá-la:

f'(x) = 16x 

Agora, precisamos igualar a derivada acima à zero:

16x = 0

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Dada a função \(f: \R^2 \longrightarrow \R^2, f(x, y) = 4x^2 + 25y^2 - 90\), podemos encontrar sua curva de nível 10 igualando sua equação a 10. dessa formam temos

\[\begin{aligned} 10 &= 4x^2 + 25y^2 - 90 \Longleftrightarrow \\ 100 &= 4x^2 + 25y^2 \Longleftrightarrow \\ 1 &= \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{4} \end{aligned}\]

Que descreve uma elipse centrada na origem, com semieixo maior \(a=5\), paralelo ao eixo \(x\), e semieixo menor \(b=2\), paralelo ao eixo \(y\). Para visualizar:

1559919472285

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Concluindo, a curva de nível 10 da função \(f(x,y)=4x^2+25y^2-90\) é uma elipse centrada na origem, com semieixo maior de comprimento 5 e semieixo menor de comprimento 2.