Me ajudem a resolver ? 5y" + y' = 6x com y(0)=0 e y (0)=-10

é um pvi, vc resolve pela equação característica, que é:

y^2+y-6=0, dai você tira que as raízes são: y1 = -0,102 e y2 = 1,95 (aproximadamente ok)

Então jogamos na fórmula geral:

y = A.e^y1.t + B.e^y2.t

y = A.e^-0,102t + B.e^1,95t        --------->   y' = -0,102.A.e^-0,102t + 1,95.B.e^1,95t

Agora jogamos o valor para t=0, que é y = 0 e y' = - 10. então temos o sistema:

A + B = 0

-0,102.A + 1,95.B = -10

Daí encontramos A = 4,87 e B = - 4,87

Então a solução geral é:  y = 4,87.e^-0,102t - 4,87.e^1,95t

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Temos a equação diferencial ordinária \(5y''+y'=6x\) com as condições de contorno \(y(0)=0\) e \(y'(0)=-10\).

Esse é uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem não-homogênea. Para resolvê-la devemos primeiro obter a solução geral da mesma EDO homogênea e depois uma solução particular para a EDO não homogênea. A dessa equação não homogênea será a soma dessas duas soluções.

A EDO homogênea é \(5y''+y'=0\). Vamos propor uma solução para essa equação da forma \(y_c=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2}x\). Em que \(r_1\) e \(r_2\) são as soluções para a equação \(5r^2+r=r(5r+1)=0\). Logo, \(r_1=0\) e \(r_2=-\dfrac1{5}\). Temos então \(y_c=c_1e^{0x}+c_2e^{-\dfrac{x}{5}}=c_1+c_2e^{-\dfrac{x}{5}}\). Aplicando as condições de contorno achamos \(c_1\) e \(c_2\). Temos \(y_c(0)=c_1+c_2=0\) e \(y_c'(0)=-\dfrac{c_2}5=-10\Rightarrow c_2=50\), logo \(c_1=-50\) e \(y_c=-50+50e^{-\dfrac{x}{5}}\).

Para encontrar a solução particular da EDO \(5y''+y'=6x\) podemos usar o método dos coeficientes indeterminados, supondo que a solução particular \(y_p\) tenha a forma de um polinômio de primeiro grau assim como o termo não-homogêneo da equação. Assim, \(y_p=Ax^2+Bx+C\), \(y_p'=2Ax+B\) e \(y_p''=2A\). Substituindo na EDO temos \(5y_p''+y_p'=6x\Rightarrow 10A+2Ax+B=6x\). Logo, termos que \(10A+B=0\) e \(2Ax=6x\). Logo, \(A=3\) e \(B=-30\), sendo \(y_p=3x^2-30x\).

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A solução da equação é então \(\boxed{y=-50+50e^{-\dfrac{x}5}+3x^2-30x}\).