Resposta?

alguem pra ajudar?

\[{P_n}\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {f\left( {{x_k}} \right){L_{n,k}}\left( x \right)}\]

---

Na fórmula do polinômio acima, \({{L_{n,k}}\left( x \right)}\) é calculado por:

\[{L_{n,k}}\left( x \right) = \prod\limits_{i = 0,i \ne k}^n {\dfrac{{\left( {x - {x_i}} \right)}}{{\left( {{x_k} - {x_i}} \right)}}}\]

---

Em nosso caso, os pontos \(\left( {{x_i},{y_i}} \right)\) dados foram \(\left( {1,7;1,8417} \right)\), \(\left( {1,9;1,8963} \right)\), \(\left( {2,1;1,9132} \right)\) e \(\left( {2,3;1,8957} \right)\). Assim, para o polinômio de grau 3 (\(n=3\)), sua forma será \({P_3}\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right){L_{3,0}}\left( x \right) + f\left( {{x_1}} \right){L_{3,1}}\left( x \right) + f\left( {{x_2}} \right){L_{3,2}}\left( x \right) + f\left( {{x_3}} \right){L_{3,3}}\left( x \right)\).

---

Agora, vamos calcular os polinômios \({{L_{n,k}}\left( x \right)}\) para os pontos dados:

\[\left\{ \matrix{ {L_{3,0}}\left( x \right) = {{\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)} \over {\left( {{x_0} - {x_1}} \right)\left( {{x_0} - {x_2}} \right)\left( {{x_0} - {x_3}} \right)}} \cr = {{\left( {x - 1,9} \right)\left( {x - 2,1} \right)\left( {x - 2,3} \right)} \over {\left( {1,7 - 1,9} \right)\left( {1,7 - 2,1} \right)\left( {1,7 - 2,3} \right)}} \cr = - 20,83{x^3} + 131,25{x^2} - 274,79x + 191,1875 \cr {L_{3,1}}\left( x \right) = {{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)} \over {\left( {{x_1} - {x_0}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right)}} \cr = {{\left( {x - 1,7} \right)\left( {x - 2,1} \right)\left( {x - 2,3} \right)} \over {\left( {1,9 - 1,7} \right)\left( {1,9 - 2,1} \right)\left( {1,9 - 2,3} \right)}} \cr = 62,5{x^3} - 381,25{x^2} + 769,375x - 513,188 \cr {L_{3,2}}\left( x \right) = {{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)} \over {\left( {{x_2} - {x_0}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)}} \cr = {{\left( {x - 1,7} \right)\left( {x - 1,9} \right)\left( {x - 2,3} \right)} \over {\left( {2,1 - 1,7} \right)\left( {2,1 - 1,9} \right)\left( {2,1 - 2,3} \right)}} \cr = - 62,5{x^3} + 368,75{x^2} - 719,375x + 464,313 \cr {L_{3,3}}\left( x \right) = {{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)} \over {\left( {{x_3} - {x_0}} \right)\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right)}} \cr = {{\left( {x - 1,7} \right)\left( {x - 1,9} \right)\left( {x - 2,1} \right)} \over {\left( {2,3 - 1,7} \right)\left( {2,3 - 1,9} \right)\left( {2,3 - 2,1} \right)}} \cr = 20,8333{x^3} - 118,75{x^2} + 224,792x - 141,313 } \right.\]

---

Substituindo na forma do polinômio de grau 3 com \(f\left( {{x_0}} \right) = 1,8417\), \(f\left( {{x_1}} \right) = 1,8963\), \(f\left( {{x_2}} \right) = 1,9132\) e \(f\left( {{x_3}} \right) = 1,8957\), encontramos o polinômio \({P_3}\left( x \right) = 0,0748{x^3} - 0,8631{x^2} + 2,7150x - 0,6118\).

---

Assim, para \(x=1,8\), temos que \({P_3}\left( {1,8} \right) = 1,9150\). Devido às aproximações, a alternativa e. é a mais plausível.

---

Portanto, a alternativa e. é a correta.