Resposta AVA1 Métodos Numéricos em Engenharia

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RESOLUÇÃO DA ATIVIDADE 
 
Considerando Máquina 1= m1, Máquina 2= m2 e Máquina 3= m3 (poderia ser x, y e z ou x1, x2 e x3 etc.), � � 0,06 e x⁽⁰⁾� M⁽⁰⁾ � [7 23 16]t: 
1) A montagem do sistema que permite resolver o problema: 
 
2) A verificação da validade de algum dos critérios suficientes de convergência, reorganizando o 
sistema, se necessário: 
Nenhum dos critérios estudados vale no sistema tal como está, mas permutando-se a Equação 1 
com a Equação 2, valerá o critério de linhas e o sistema deverá ser reorganizado como 
 
3) O dispositivo prático de cada método solicitado (Jacobi e Seidel), incluindo os algoritmos das 
incógnitas, considerando a precisão e o ponto de partida dados, e as iterações obtidas com quatro 
casas decimais de aproximação: 
 
Dispositivo prático de Jacobi (com os algoritmos incluídos na tabela): 
 m1(k+1) m2(k+1) m3(k+1) 
k (500-8m2(k)-12m3(k))/24 (650-8m1(k)-10m3(k))/20 (300-3m1(k)-6m2(k))/10 ∆1 ∆2 ∆3 ∆r 
0 7,0000 23,0000 16,0000 - - - - 
1 5,1667 21,7000 14,1000 1,8333 1,3000 1,9000 0,0876 
2 6,5500 23,3833 15,4300 1,3833 1,6833 1,3300 0,0720 
3 5,3239 22,1650 14,0050 1,2261 1,2183 1,4250 0,0643 
4 6,4425 23,3679 15,1038 1,1186 1,2029 1,0988 0,0515<ε 
 
Algoritmos de Jacobi separados M⁽ᵏ⁾ = 
���
��������� � ��� . �500 ! 8#₂⁽ᵏ⁾ ! 12#₃⁽ᵏ⁾�
�'
����� �
�
�(
. �650 ! 8#₁⁽ᵏ⁾ ! 10#₃⁽ᵏ⁾�
�*
����� �
�
�(
. �300 ! 3#₁⁽ᵏ⁾ ! 6#₂⁽ᵏ⁾�
 
(Não são necessários se já estiverem na tabela) 
 
 
 
 
Dispositivo prático de Seidel (com os algoritmos incluídos na tabela): 
 m1(k+1) m2(k+1) m3(k+1) 
k (500-8m2(k)-12m3(k))/24 (650-8m1(k+1)-10m3(k))/20 (300-3m1(k+1)-6m2(k+1))/10 ∆1 ∆2 ∆3 ∆r 
0 7,0000 23,0000 16,0000 - - - - 
1 5,1667 22,4333 14,9900 1,8333 0,5667 1,0100 0,0817 
2 5,8606 22,6608 14,6454 0,6939 0,2274 0,3446 0,0306<ε 
 
Algoritmos de Seidel separados M⁽ᵏ⁾ = 
���
��������� � ��� . (500 − 8#₂⁽ᵏ⁾ − 12#₃⁽ᵏ⁾)�'(�+�) = ��( . (650 − 8#1(++1) − 10#₃⁽ᵏ⁾)
�*(�+�) = ��( . (300 − 3��(�+�) − 6�'(�+�))
 
(Não são necessários se já estiverem na tabela) 
 
4) A solução na forma matricial obtida em cada método: 
Usamos a letra M, mas poderia ser X ou qualquer outra letra maiúscula, pois trata-se de matriz: 
Jacobi � M(4)=[ 6,4425 23,3679 15,1038 ]t 
Seidel � M(2)=[ 5,8606 22,6608 14,6454 ]t 
5) A matriz E, dos erros relacionados aos termos independentes do sistema, gerada por cada 
método, com a conclusão justificada de qual dos métodos apresenta o resultado mais preciso: 
Jacobi � E = A.M(4) – B =,24 8 128 20 103 6 10. • ,
6,442523,367915,1038. - ,
500650300. = ,
522,8096669,9372310,5735. − ,
500650300. = ,
'', 0123�2, 2*4'�1, 54*5. 
 Seidel � E = A.M(2) – B =,24 8 128 20 103 6 10. • ,
5,860522,660814,64537. - ,
500650300.=,
497,6840646,5537300 . − ,
500650300. = ,
−', *�31−*, 663*1 . 
Os erros obtidos na matriz E com a solução aproximada obtida com o método de Seidel são bem 
menores que aqueles obtidos com a solução de Jacobi, logo a solução aproximada do sistema 
mais precisa é a de Seidel: 
M(2)=[ 5,8606 22,6608 14,6454 ]t 
6) A resposta do problema, em seu contexto: 
São produzidas diariamente, na fábrica em questão, aproximadamente 6 máquinas do tipo 1, 23 
máquinas do tipo 2 e 15 máquinas do tipo 3.