seja os pontos: A (-1,-1,2), B (2,1,1) e C (M, -5,3). Para qual valor de M o triangulo ABC em A?

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\[{\left( {{d_{BC}}} \right)^2} = {\left( {{d_{AB}}} \right)^2} + {\left( {{d_{AC}}} \right)^2}{\text{ }\text{ }}......(I)\]

Da Geometria Analítica, dados os pontos \(A\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\)e , \(C\left( {{x_3},{y_3},{z_3}} \right)\) as distâncias entre eles podem ser calculadas por:

\[\left\{ \matrix{ {d_{AB}} = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} \cr {d_{AC}} = \sqrt {{{\left( {{x_3} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_3} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_3} - {z_1}} \right)}^2}} \cr {d_{BC}} = \sqrt {{{\left( {{x_3} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_3} - {y_2}} \right)}^2} + {{\left( {{z_3} - {z_2}} \right)}^2}} } \right.\]

Do enunciado, \(A\left( { - 1, - 1,2} \right)\), \(B\left( {2,1,1} \right)\) e \(C\left( {M, - 5,3} \right)\). Utilizando as fórmulas para o cálculo das distâncias e substituindo em \((I)\), temos:

\[\eqalign{ {\left( {\sqrt {{{\left( {M - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {2^2}} } \right)^2} &= {\left( {\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {{{\left( {M + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2}} } \right)^2}\cr{\left( {M - 2} \right)^2} + {\left( { - 6} \right)^2} + {2^2} &= {3^2} + {2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( {M + 1} \right)^2} + {\left( { - 4} \right)^2} + {1^2}\cr{\left( {M - 2} \right)^2} + 40 &= {\left( {M + 1} \right)^2} + 31\cr{M^2} - 4M + 4 - \left( {{M^2} + 2M + 1} \right) &= - 9\cr- 6M + 3 &= - 9\crM &= 2 }\]

Portanto, temos que \(\boxed{M = 2}\).