Verifique a lei do paralelogramo num espaço com produto interno V:

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A primeira parte da equação se trata da soma de duas normas de vetores, sendo o primeiro definido por \(u+v\) e o segundo por \(u-v\). A partir desta percepção, devemos lembrar da definição de norma de um vetor. Tendo um vetor \(v = (x, y, z)\), ela se dá a partir por:

\[\eqalign{&||v|| = \sqrt{v\cdot v}\\& ||v|| = \sqrt{ (x, y, z)\cdot (x, y, z)}\\& ||v|| = \sqrt{x^2 + y^2+z^2}}\]

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Aplicando a definição de norma de um vetor aos vetores da igualdade, temos:

\[\eqalign{&|| u+v || = \sqrt{(u+v)\cdot (u+v)}\\& || u+v || = \sqrt{||u||^2 + 2 u \cdot v + ||v||^2}}\]

E também

\[\eqalign{&|| u-v || = \sqrt{(u-v)\cdot (u-v)}\\& || u-v || = \sqrt{||u||^2 - 2 u \cdot v + ||v||^2}}\]

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Agora, queremos somar a norma ao quadrado dos vetores.

\[\eqalign{&|| u+v ||^2 + || u - v ||^2 =\\& \sqrt{||u||^2 + 2 u \cdot v + ||v||^2}^2 + \sqrt{||u||^2 - 2 u \cdot v + ||v||^2}^2 =\\& ||u||^2 + 2 u \cdot v + ||v||^2 + ||u||^2 - 2 u \cdot v + ||v||^2=\\& ||u||^2+ ||u||^2+ 2 u \cdot v- 2 u \cdot v+ ||v||^2+ ||v||^2=\\& 2||u||^2+ 2||v||^2}\]

Resultando em

\[|| u+v ||^2 + || u - v ||^2 = 2||u||^2+ 2||v||^2\]

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Assim, a partir do produto escalar interno, norma de um vetor e manipulações algébricas, encontramos a lei do paralelogramo.