Considere o espaço vetorial IV = R² e o produto interno usual de R². Sendo u = (1,2), determine um vetor W E R² tal que...

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Espaços vetoriais que possuem produto interno são chamados espaços euclidianos. Produtos internos são operações entre vetores que obedecem a certos axiomas. No caso do espaço vetorial \(\R^2\) o produto interno usual entre dois vetores \(u=(x_1,y_1)\) e \(v=(x_2,y_2)\) é definido por\(=x_1x_2+y_1y_2\).

No problema temos \(u=(1,2)\) e queremos determinar o valor de \(w\) sabendo que \(=-1\) e \(=3\). Para isso, porém, precisamos saber o valor de \(v\). Vamos supor então que \(v=(1,1)\), já que ele não foi dado, e \(w=(a,b)\). Teremos então:

\[=a+2b=-1\]

\[=a+b=3\]

Resolvendo esse sistema de equações, encontramos \(b=-4\) e \(a=7\).

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Portanto, o vetor é \(\boxed{w=(7,-4)}\).