Probabilidade

Letra A

• Tem-se dois testes: o teste que diz se o indivíduo é louco e o teste que diz se o indivíduo é ladrão.
• Pelo enunciado, tem-se que \(P(A)=0,6\) é a probabilidade de o indivíduo ser louco e tem-se que \(P(B)=0,7\) é a probabilidade de ele ser ladrão.
• Se \(P(A)\) é a probabilidade de o indivíduo ser louco, \(P(\bar A)\) é a probabilidade de ele _não_ ser louco. Analogamente, \(P(\bar B)\) é a probabilidade de ele _não_ ser ladrão.

a)

Sendo \(\cap\) o símbolo de interseção, \(P(A \cap B)\) é a probabilidade de o indivíduo ser louco e ladrão ao mesmo tempo.

Com base nos conceitos anteriores, tem-se a seguinte equação:

\[P(A \cap B)+P(\bar A \cap B)+P(A \cap \bar B)+P(\bar A \cap \bar B)=1 \,\,\,\, (I)\]

O enunciado fornece o valor de \(P(\bar A \cap \bar B)\) (não louco nem ladrão). Portanto, o valor de \(P(\bar A \cap \bar B)\) é:

\[P(\bar A \cap \bar B)=0,25 \,\,\,\,(II)\]

Além disso, tem-se as equações de \(P(A)\) e \(P(B)\) apresentadas a seguir:

\[\left\{ \begin{matrix} \begin{align} P(A\cap B)+P(A\cap \bar B)&=P(A) \,\,\,\,(III) \\ P(A\cap B)+P(\bar A\cap B)&=P(B)\,\,\,\,(IV) \end{align} \end{matrix} \right.\]

Somando as equações \((III)\) e \((IV)\), a equação resultante é:

\[P(A)+P(B) = P(A\cap B)+P(A\cap \bar B)+P(A\cap B)+P(\bar A\cap B)\]

Somando \(P(\bar A \cap \bar B)\) dos dois lados da equação anterior:

\[P(A)+P(B)+P(\bar A \cap \bar B) = P(A\cap B)+ \bigg[ P(A\cap \bar B)+P(A\cap B)+P(\bar A\cap B)+P(\bar A \cap \bar B) \bigg]\]

Substituindo os valores conhecidos, o valor de \(P(A \cap B)\) é:

\[\begin{align} 0,6+0,7+0,25 &= P(A\cap B)+ \bigg[ 1 \bigg] \\ P(A\cap B) &=0,6+0,7+0,25-1 \\ &=0,55 \,\,\,\, (V) \end{align}\]

Concluindo, a probabilidade de o indivíduo ser louco e ladrão ao mesmo tempo é \(\boxed{0,55}\).

b)

A probabilidade de o indivíduo ser apenas louco ou apenas ladrão diz respeito à soma de \(P(A \cap \bar B)\) (apenas louco) e \(P(\bar A \cap B)\) (apenas ladrão).

Com base nas equações \((III)\) e \((IV)\), tem-se as seguintes equações:

\[\left\{ \begin{matrix} P(A\cap B)+P(A\cap \bar B)=P(A) \\ P(A\cap B)+P(\bar A\cap B)=P(B)\end{matrix} \right. \to \left\{ \begin{matrix} \begin{align} P(A\cap \bar B)&=P(A)-P(A\cap B) \\ P(\bar A\cap B)&=P(B)-P(A\cap B) \end{align} \end{matrix} \right.\]

Substituindo \(P(A)=0,6\), \(P(B)=0,7\) e \(P(A\cap B)=0,55\), os valores de de \(P(A \cap \bar B)\) e \(P(\bar A \cap B)\) são:

\[\left\{ \begin{matrix} P(A\cap \bar B)&=0,6-0,55 \\ P(\bar A\cap B)&=0,7-0,55 \end{matrix} \right. \to \left\{ \begin{matrix} \begin{align} P(A\cap \bar B)&=0,05 \,\,\,\,(VI) \\ P(\bar A\cap B)&=0,15 \,\,\,\, (VII) \end{align} \end{matrix} \right.\]

Portanto, a soma \(P(A \cap \bar B)+P(\bar A \cap B)\) é:

\[\begin{align} P(A \cap \bar B)+P(\bar A \cap B) &= 0,05+0,15 \\ &= 0,2 \end{align}\]

Concluindo, a probabilidade de o indivíduo ser apenas louco ou apenas ladrão é \(\boxed{0,2}\).

c)

O valor de \(P(B|\bar A)\) é a probabilidade de o indivíduo ser ladrão (\(B\)) dado que ele não é louco (\(\bar A\)). Seu valor é determinado pela equação de probabilidade condicional apresentada a seguir:

\[P(B|\bar A)={P(B \cap \bar A) \over P(\bar A)}\]

Reescrevendo a equação, tem-se o seguinte:

\[P(B|\bar A)={P(\bar A \cap B) \over P(\bar A)} \,\,\,\, (VIII)\]

A probabilidade de o indivíduo não ser louco corresponde ao valor de \(P(\bar A)\), que é complementar a \(P(A)\). Portanto, o valor de \(P(\bar A)\) é:

\[\begin{align} P(\bar A) &= 1-P(A) \\ &=1-0,6 \\ &= 0,4 \,\,\,\, (IX) \end{align}\]

Substituindo as equações \((VII)\) e \((IX)\) na equação \((VIII)\), o valor de \(P(B|\bar A)\) é:

\[\begin{align} P(B|\bar A)&={P(\bar A \cap B) \over P(\bar A)} \\ &={0,15 \over 0,4} \\ &=0,375 \end{align}\]

Concluindo, dado que o indivíduo não é louco, a probabilidade de ele ser ladrão é \(\boxed{0,375}\).