determine o raio do Círculo circunscrito em um triângulo cujos lados medem 13cm 14cm e 15 cm ?

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, calcular a altura do triângulo:

Dividindo-o ao meio, pela altura relativa ao lado 12cm, ficamos com o seguinte triângulo:

Hipotenusa:10, cateto:6, cateto: altura do triângulo :)

Então:

\begin{lgathered}10^2=6^2+h^2\\100=36+h^2\\h^2=100-36-64\\h=8\;cm\end{lgathered}102=62+h2100=36+h2h2=100−36−64h=8cm 

Agora que temos a altura podemos calcular o valor da área de duas formas:

A=\frac{bh}{2}A=2bh 

Ou, com o semi-perímetro 'p' temos:

A=prA=pr , onde r é o raio do círculo inscrito no triângulo.

Calculando o semi-perímetro:

p=\frac{10+10+12}{2}=\frac{32}{2}=16p=210+10+12=232=16 

Agora calculamos o que se pede:

\begin{lgathered}\frac{bh}{2}=pr\\\frac{12\cdot{8}}{2}=16r\\r=\frac{12\cdot{8}}{2\cdot{16}}\\r=3\end{lgathered}2bh=pr212⋅8=16rr=2⋅1612⋅8r=3
 

\[{S^2} = p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\]

Sendo \(S\) a área do triângulo; \(p\) o semiperímetro do triângulo; e \(a\), \(b\) e \(c\) os lados do triângulo. Fazendo isso, vem que:

\[\eqalign{ & p = \dfrac{{13 + 14 + 15}}{2} \cr & = 21{\text{ cm}} \cr & \cr & {S^2} = 21\left( {21 - 13} \right)\left( {21 - 14} \right)\left( {21 - 15} \right) \cr & = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cr & = 7.056 \cr & \cr & \Rightarrow S = 84{\text{ c}}{{\text{m}}^2} }\]

Por fim, basta aplicar que:

\[abc = 4RS\]

Em que \(R\) é o raio da circunferência inscrita. Isolando \(R\), vem que:

\[\eqalign{ & R = \dfrac{{abc}}{{4S}} \cr & = \dfrac{{13 \cdot 14 \cdot 15}}{{4 \cdot 84}} \cr & = \boxed{8,12{\text{ cm}}} }\]