Uma companhia tem duas fábricas A e B. Em uma semana média, a fábrica A produz 2000 monitores para computadores e 8000 televisores de tela plana,

Vamos representar os vetores pedidos por meio das notações \(\vec a = \left( {{x_A},{y_A}} \right)\) e \(\vec b = \left( {{x_B},{y_B}} \right)\), onde \({{x_A}}\) e \({{y_A}}\) são as quantidades de monitores e televisores que a fábrica \(A\) produz e, \({{x_B}}\) e \({{y_B}}\) são as quantidades de monitores e televisores produzidos pela fábrica \(B\), respectivamente.

Do enunciado, temos que \({x_A} = 2.000\), \({y_A} = 8.000\), \({x_B} = 3.000\) e \({y_B} = 10.000\). Logo, os vetores serão \(\vec a = \left( {2.000,8.000} \right)\) e \(\vec b = \left( {3.000,10.000} \right)\).

Portanto, \(\boxed{\vec a = \left( {2.000,8.000} \right)}\) e \(\boxed{\vec b = \left( {3.000,10.000} \right)}\).

(b)

Quando multiplicamos um vetor \(\vec v = \left( {{v_1},{v_2}} \right)\) por um número \(a\), obtemos um novo vetor dado por \(a\vec v = \left( {a \cdot {v_1},a \cdot {v_2}} \right)\).

Assim, para calcular \(8\vec b\), temos:

\[\eqalign{ 8\vec b &= \left( {8 \cdot 3.000,8 \cdot 10.000} \right)\cr&= \left( {24.000,80.000} \right) }\]

As componentes do vetor nos mostram que, em 8 semanas, a fábrica \(B\) produz \(24.000\) monitores e \(80.000\) televisores.

Portanto, \(\boxed{8\vec b = \left( {24.000,80.000} \right)}\) mostrando que, em oito semanas, a fábrica \(B\) produz \(\boxed{24.000{\text{ monitores}}}\) e \(\boxed{80.000{\text{ televisores}}}\).

(c)

Utilizando a multiplicação de um vetor por um número mostrada no item (b), a produção total da companhia em seis semanas pode ser representada por meio do vetor \(\vec P = \left( {x,y} \right)\) dado por \(\vec P = 6\vec a + 6\vec b\), onde \(x\) é o número de monitores e \(y\) é o número de televisores produzidos ao longo das seis semanas.

Substituindo os vetores encontrados no item (a) na expressão de \({\vec P}\), temos:

\[\eqalign{ \vec P &= 6\left( {2.000,8.000} \right) + 6\left( {3.000,10.000} \right)\cr&= \left( {12.000,48.000} \right) + \left( {18.000,60.000} \right)\cr&= \left( {30.000,108.000} \right) }\]

Portanto, \(\boxed{\vec P = \left( {30.000,108.000} \right)}\).

(d)

Sendo \(n\) o número de semanas para a produção desejada ser atingida, devemos resolver a seguinte equação vetorial:

\[n\vec a + n\vec b = \left( {24.000,92.000} \right)\]

Substituindo os vetores do item (a), temos:

\[\eqalign{ n\left( {2.000,8.000} \right) + n\left( {3.000,10.000} \right) &= \left( {24.000,92.000} \right)\cr\left( {2.000n + 3.000n,8.000n + 10.000n} \right) &= \left( {24.000,92.000} \right)\cr\left( {5.000n,18.000n} \right) &= \left( {24.000,92.000} \right) }\]

Para o número de monitores produzidos, temos:

\[\eqalign{ 5.000n &= 24.000\crn &= 4,8{\text{ semanas}} }\]

E, para o número de televisores produzidos:

\[\eqalign{ 18.000n = 92.000 \cr n \cong 5,11{\text{ semanas}} }\]

Como é preciso mais tempo para produzir a quantidade de televisores desejada, vamos tomar \(n \cong 5,11{\text{ semanas}}\).

Portanto, são necessárias, aproximadamente, \(\boxed{5,11{\text{ semanas}}}\).