(UERJ 2018) A imagem a seguir ilustra um prisma triangular regular. Sua aresta da base mede b e sua aresta lateral mede h.

Note que a base do prisma é a base da pirâmide e note que a altura da pirâmide é o segmento PA=x, pois este segmento faz um ângulo de 90 graus com a base do prisma, uma vez que o prisma é reto (regular). Neste caso, se A é a área da base$$, temos:

13⋅A⋅x=19⋅A⋅h⟹x=h3

Resposta: b)

Sabendo que o volume do prisma é:

\(V_p={b^2. \sqrt 3 .h \over 4}\)

O volume da pirâmide é:

\(V_{pir}={b12. \sqrt 3. AP \over 12}\)

Aplicando a relação de áreas, teremos:

\({b^2. \sqrt 3 \over 12}.AP={1 \over 12}\)

Aplicando a relação de áreas, teremos:

\({b^2. \sqrt 3 \over 12}. AP={1 \over 9}.{b^2 \sqrt 3. h \over 4}\\ 9AP=3h\\ AP={ h \over 3}\)