sendo R={(X+Z,Z,Z) E IR³} e S=[(a,a+c,c) E IR³], o subespaço R intersecção S é dado por:

R2

\[R=\{(x+z,z,z)\in\mathbb{R}^3\}\]

E

\[S=\{(a,a+c,c)\in\mathbb{R}^3\}\]

Ou seja, temos dois subconjuntos do conjuntos dos trios pertencentes ao \(\mathbb{R}^3\). Queremos determinar a intersecção desses dois subespaços ou, em outras palavras, a intersecção entre os conjuntos citados. Precisamos então de trios idênticos, isto é, o conjunto em que:

\[(x+z,z,z)=(a,a+c,c)\]

Igualando ambos, temos o seguinte sistema de equações:

\[\begin{cases}x+z=a\\z=a+c\\z=c\end{cases}\]

Das duas últimas, temos:

\[a=0\]

O que nos leva a um novo sistema de equações:

\[\begin{cases}x+z=0\\z=c\end{cases}\]

Ou:

\[(x,z)=(-c,c)\]

Ou ainda:

\[(a,c)=(0,z)\]

Reescrevendo os dois conjuntos iniciais com essas condições, temos:

\[R=\{(0,z,z)\in\mathbb{R}^3\}\]

\[S=\{(0,c,c)\in\mathbb{R}^3\}\]

Ou seja, o subespaço procurado é:

\[\boxed{R\cap S=\{(0,z,z)\in\mathbb{R}^3\}}\]