Em quantos anagramas da palavra PATRÍCIA não aparecem as três letras da palavra P, T e R juntas?​

Primeiramente, verificaremos quantos anagramas a palavra possui a palavra "Patrícia". Assim, verificamos logo de cara que a mesma possui duas vezes a letra "a" e duas vezes a letra "i". Dessa maneira, temos que a permutação acontece da seguinte maneira.

\[P_8^{2,2} = \dfrac{{8!}}{{2! \cdot 2!}} = \dfrac{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}} = 10080\]

O próximo passo é verificar em quantos anagramas aparecem as letras P, T e R juntas. Sabemos que a palavra dada possui 8 letras, entretanto, nessa situação queremos que 3 delas fiquem sempre juntas. Então o segredo é considerar as letras P, T e R, como sendo apenas uma letra, isto é, como se elas estivessem soldadas umas as outras.

Dessa maneira, temos que não possuímos mais a palavra patrícia com oito letras, possuímos uma palavra com 6 letras, uma vez que aquelas três letras agora estão juntas e são consideradas como apenas uma. Então, a permutação aconteceria da seguinte forma:

\[P_6^{2,2} = \dfrac{{6!}}{{2! \cdot 2!}}\]

Contudo, temos que nos atentar em mais um detalhe, o exercício não nos diz que as letras P, T e R têm de estar exatamente nessa ordem, elas podem estar embaralhadas entre si, desde que estejam juntas. Dessa forma, temos que permutar elas também, e a permutação delas é dada por

\[{P_3} = 3!\]

Agora sim, podemos permutar de maneira correta. Então, a permutação da palavra "Patrícia", com as letras P, T e R sempre juntas , mas não necessariamente nessa ordem é dada por:

\[P_6^{2,2} \cdot {P_3} = \left( {\dfrac{{6!}}{{2! \cdot 2!}}} \right) \cdot \left( {3!} \right) = \left( {\dfrac{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}}} \right) \cdot \left( {3 \cdot 2 \cdot 1} \right) = 1080\]

Nesta etapa, basta subtrairmos os anagramas formados pela palavra "Patrícia" (já calculados anteriormente) pelos anagramas da palavra "Patrícia" que possui sempre as letras P, T e R sempre juntas mas não necessariamente nesta ordem:

\[10080 - 1080 = \boxed{9000}\]

Portanto, em \({9000}\) anagramas da palavra "Patrícia", temos que as letras P, T e R não aparecem juntas.