(Vunesp 92) Seja a, 0 < a < 1, um número real dado. Resolva a inequação exponencial a^2x+1 > (1/a)^x-3.

\[a^{2x+1}>g({1 \over a} g)^{x-3}\]

Substituindo \({1 \over a}=a^{-1}\), a inequação fica da seguinte forma:

\[\eqalign{ a^{2x+1}&>(a^{-1})^{x-3} \cr a^{2x+1}&>a^{(-1)(x-3)} \cr a^{2x+1}&>a^{3-x} \cr }\]

Como a base \(a\) está entre \(0\) e \(1\), o valor de \(a^b\) tende a diminuir quanto maior for o valor do expoente \(b\). Portanto, invertendo o sinal, tem-se a inequação de expoentes a seguir:

\[2x+1<3-x\]

Com isso, tem-se a seguinte solução:

\[\eqalign{ 2x+1&<3-x \cr 2x+x&<3-1 \cr 3x&<2 \cr x&<{2 \over 3} \\ }\]

Concluindo, a solução da inequação exponencial \(a^{2x+1}>({1 \over a} )^{x-3}\) é:

\[\boxed{x < {2 \over 3}}\]