(FUVEST)\na) Expresse sen(3x) em função de sen(x).\nb) Resolva a inequação sen(3x) > 2sen(x), para 0 < x < π.\nConsegui\na) sinx(3-4sin²x)\nb

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Resolução

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Para resolver esse exercício, deve-se ter conhecimento em funções trigonométricas e identidades trigonométricas.

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As identidades trigonométricas que serão úteis são:

1. \(sen(2x) = 2.sen(x).cos(x)\)
2. \(cos(2x) = 1- 2sen^2(x)\)
3. \(sen(a+b) = sen(a).cos(b)+sen(b).cos(a)\)
4. \(se{n^2}(x) + {\cos ^2}(x) = 1\)

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A expressão \(sen(3x)\) pode ser reescrita de uma outra forma que é \(sen(2x+x)\).

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Substituindo as identidades trigonométricas na expressão, tem-se:

\[sen(3x) = sen(2x+x)\]

\[sen(3x) = sen(2x).cos(x)+sen(x).cos(2x)\]

\[sen(3x)=2sen(x).cos(x).cos(x)+sen(x).(1-2sen^2(x))\]

Colocando o termo \(sen(x)\) em evidência e substituindo \(cos^2(x)=1-sen^2(x)\) , tem-se:

\[sen(3x)=sen(x).(2cos^2(x)+1-2sen^2(x))\]

\[sen(3x)= sen(x). (2-2sen^2(x)+1-2sen^2(x))\]

\[sen(3x)=sen(x).(3-4sen^2(x))\]

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Finalmente, teremos que a resposta encontrada é \(\boxed{sen(x)[3-4sen^2(x)]}\).

}

==rer(FUVEST)==

{

Resolva a inequação \(sen(3x)>2sen(x)\) , para \(0 < x < \pi\) .

Resolução

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A resolução desse exercício requer o conhecimento prévio de identidades trigonométricas e intersecção entre intervalos de números reais.

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A identidade trigonométrica principal é:

\[sen(3x)=sen(x)[3-4sen^2(x)]\]

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Substituindo os termos na expressão \(sen(3x)>2sen(x)\) , tem-se:

\[\eqalign{ & sen(x)[3-4sen^2(x)]>2sen(x) \cr & 3sen(x)-4sen^3(x)-2sen(x)>0 \cr & sen(x)-4sen^3(x)>0 \cr & sen(x).[1-4sen^2(x)]>0}\]

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A inequação acima terá como solução em x, a intersecção entre os intervalos da solução das seguintes inequações:

\[\eqalign{ & sen(x)>0 \cr & 1-4sen^2(x)>0 }\]

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Para a primeira inequação, tem-se:

\[sen(x)>0 \\]

Assim, no intervalo de \(0 que tornam a expressão \(sen(x)>0\) , a solução é:

\[0

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Para a segunda inequação, tem,se:

\[\eqalign{ &1-4sen^2(x)>0 \cr &sen^2(x)>\dfrac{1}{4} \cr &sen(x)>\pm \dfrac{1}{2} }\]

Dessa forma, teremos que:

\[\eqalign { &sen(x)>-\dfrac{1}{2} \cr & e \cr &sen(x)<\dfrac{1}{2} }\]

Para \(sen(x)>-\dfrac{1}{2}\) , tem-se que \(sen(x)>0\) para qualquer valor no intervalo \(0. Logo, a solução é \(0.

Para \(sen(x)>\dfrac{1}{2}\), tem-se que \(\dfrac{\pi}{6} .

A solução da inequação \(1-4sen^2(x)>0\) será a intersecção entre os intervalos \(0 e \(\dfrac{\pi}{6} .

Logo, a solução da inequação \(1-4sen^2(x)>0\) é \(\dfrac{\pi}{6} .

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Combinando-se os intervalos das soluções das inequações iniciais:

\[\eqalign{ & sen(x)>0 \cr & 1-4sen^2(x)>0 }\]

As respectivas soluções são:

\[\eqalign{ & 0

A intersecção entre esses dois intervalos que satisfaz a inequação \(sen(x).[1-4sen^2(x)]>0\) é:

\[\dfrac{\pi}{6}

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Finalmente, temos que a resposta é \(\boxed{\dfrac{\pi}{6}.