Sabe-se que os números z1= log (x - y) + (y + 10) e z2 = y - xi, nos quais x e y são números reais, são complexos conjugados.É verdade quea) z1 + z2 =

nao sei

• Suas partes reais são iguais entre si. Então, \(\log(x-y)=y\).
• Suas partes imaginárias são opostas entre si. Então, \(y+10=x\).

Pela segunda equação, tem-se \(x-y=10\). Substituindo na primeira equação, o valor de \(y\) é:

\[\eqalign{ \log(x-y)&=y \\ \log (10)&=y \\ y&= 1 }\]

Portanto, o valor de \(x\) é:

\[\eqalign{ x&=y+10 \cr &=1+10\cr &=11 }\]

Portanto, \(z_1\) e \(z_2\) são:

\[\left\{ \begin{matrix} z_1=\log(x - y) + (y + 10)i \\ z_2=y-xi \end{matrix} \right. \to \left\{ \begin{matrix} z_1=\log(10) + (1 + 10)i \\ z_2=1-11i \end{matrix} \right. \to \left\{ \begin{matrix} z_1=1 + 11i \\ z_2=1-11i \end{matrix} \right.\]

Analisando cada sentença, tem-se o seguinte:

1. a) z1 + z2 = 1


\[\eqalign{ z_1+z_2 &=(1+11i)+(1-11i) \cr &=2 }\]


Portanto, a primeira sentença é errada.

1. b) z1 - z2 = i


\[\eqalign{ z_1-z_2 &=(1+11i)-(1-11i) \cr &=22i }\]


Portanto, a segunda sentença é errada.

1. c) z1 . z2 = 122


\[\eqalign{ z_1\cdot z_2 &=(1+11i)\cdot (1-11i) \\ &=1^2+11^2 \\ &= 1+121 \\ &=122 }\]


Portanto, a terceira sentença é correta.

1. d) | z1 + z2 | = raiz de 2.


\[\eqalign{|z_1+z_2|&=|2| \cr &=2 }\]


Portanto, a quarta sentença é errada.

1. e) | z1 - z2 | = 11


\[\eqalign{ | z1 - z2 | &= |22i| \cr &=22 }\]


Portanto, a quinta sentença é errada.

Resposta: c) z1 . z2 = 122.