A área lateral de um prisma triangular regular é 81cm². Sabendo que a medida da aresta dessa base é a terça parte da altura, calcule seu volume?

Dados:

\(a=\dfrac{h}{3}\)

Área da base: \(A_B=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

Área lateral: \(A_L=3\cdot a\cdot h\)

Volume: \(V=A_B\cdot h\rightarrow V=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h\)

Solução:

\(A_L=3\cdot a \cdot h \rightarrow 81=3\cdot \dfrac{h}{3}\cdot h\rightarrow h^2=81\rightarrow h=9\hspace{0,1 cm} cm\)

\(V=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h\rightarrow V=\dfrac{3^2\sqrt{3}}{4}\cdot 9=\dfrac{81\sqrt{3}}{4}\hspace{0,1 cm} cm^3\)

sei nao

\[\eqalign{ & {A_l} = 81{\text{ c}}{{\text{m}}^2} \cr & 3 \cdot {A_{{\text{face lateral}}}} = 81\;{\text{c}}{{\text{m}}^2} \cr & 3 \cdot \left( {b \cdot h} \right) = 81\;{\text{c}}{{\text{m}}^2} \cr & \cr & b = \dfrac{h}{3} \cr & \cr & 3 \cdot \left( {\dfrac{h}{3} \cdot h} \right) = 81\;{\text{c}}{{\text{m}}^2} \cr & {h^2} = 81\;{\text{c}}{{\text{m}}^2} \cr & h = \sqrt {81\;{\text{c}}{{\text{m}}^2}} \cr & h = 9\;{\text{cm}} }\]

Não se tem informações sobre a altura do triângulo que compõe a base do prisma (seção transversal). Logo, o volume \((V)\) do prisma é:

\[\boxed{V = \left( {\dfrac{{{\text{Altura}} \cdot 3{\text{ cm}}}}{2}} \right) \cdot \left( {9\;{\text{cm}}} \right)}\]