Encontre a solução da equação diferencial de variáveis separáveis: Y² dx – x² (1 + y²) dy=0

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\[y^2dx-x^2(1+y^2)dy=0\]

Passando o termo do diferencial de \(y\)para a direita da igualdade, temos:

\[y^2dx=x^2(1+y^2)dy\]

Agora basta-nos dividir a equação por \(x^2y^2\):

\[\dfrac1{x^2}dx=\dfrac{1+y^2}{y^2}dy\]

Simplificando a segunda fração:

\[\dfrac1{x^2}dx=\left(1+\dfrac1{y^2}\right)dy\]

Reescrevendo em forma de soma de potências:

\[x^{-2}dx=(1+y^{-2})dy\]

Agora basta integrarmos:

\[\eqalign{\int x^{-2}dx&=\int(1+y^{-2})dy\cr -x^{-1}&=y-y^{-1}+C\cr y-y^{-1}+(C+x^{-1})&=0}\]

Multiplicando por \(y\) temos:

\[y^2+(C+x^{-1})y-1=0\]

Por Bháskara, temos:

\[\boxed{y(x)=\dfrac{-(C+x^{-1})\pm\sqrt{(C+x^{-1})^2+4}}{2}}\]