Seja T:R² →R² um operador linear. Consideremos as bases A canônica e B = {(4, 1), (-11, -3)}. Sabendo que [T]B = [3 5 1 2] determinar [T]A,

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  \(L = (\alpha {v_1} + \beta {v_2}) = \alpha L({v_1}) + \beta L({v_2})\)
  
• 
  \(L({v_1} + {v_2}) = L({v_1}) + L({v_2})\)
  
• 
  \(L(\alpha v) = \alpha L(v)\)
  

Para se determinar T[A] faremos os seguintes procedimentos:

Utilizaremos a base canônica A={4,1} e B ={-11,-3}

Fazendo a junção delas, fica da seguinte forma:

\[\left( {\matrix{ 4 & { - 11} \cr 1 & 3 } } \right)\]

Vamos multiplicar por duas bases diferentes, desse modo temos:

\[\left( {\matrix{ 4 & { - 11} \cr 1 & 3 } } \right)\left( \matrix{ 1 \hfill \cr 1 \hfill } \right)\]

\[\left( {\matrix{ 4 & { - 11} \cr 1 & 3 } } \right)\left( \matrix{ 1 \hfill \cr -1 \hfill } \right)\]

Quando multiplicarmos esses vetores chegaremos no seguinte :

\[\left( \matrix{ -7 \hfill \cr 4 \hfill } \right)\]
e
\(\left( \matrix{ 15 \hfill \cr -2 \hfill \cr } \right)\)

Desse modo, [T]A, será igual a :

\[\left( {\matrix{ -7 & { 15} \cr 4 & -2 } } \right)\]

O resultado por semelhança está mostrado acima.