Como saber que a função de mais de uma variável é limitada?

Se a imagem da função está contida em um intervalo. No caso de uma função de duas variáveis f(x,y) então temos um intervalo para x e outro para y.

Para verificar se a função é limitada ,devemos observar se existe uma cosntante (número) pertencente ao domínio da função tal que o valor absoluto da sua imagem é menor ou igual a esta constante para quaisquer que seja os elementos pertencentes ao domínio da função . Ex. 

A função  definida por  é limitada , pois  .Neste caso  . Faça uma analogia com funções duas variáveis . 


Vamos mostra que  é uma função limitada .Primeiro note que , 
 .Isto contradiz apenas quando  . Portanto se  vamos ter  e vice-versa . 

Para  temos  e para  segue  . Agora para  vamos ter que : 


 . Note que,  .Tome  e  é fácil ver que  e assim sucessivamente . 

Já  não podemos fazer a mesma afirmação . 

Vale ressaltar que isto é apenas uma idéia intuitiva.

O termo imagem restrita deve ser diferenciado daquele da imagem linear restrita. Para esta classe de ilustrações, apenas a imagem de subconjuntos limitados é limitada.

No caso específico de uma função real, uma função é limitada se apenas puder aceitar valores dentro de um intervalo. Isso significa que existem valores estilo de exibição a}para e \(b\) de modo que, para cada valor de \(X\) para o qual a função está definida, estilo de exibição \(a <f (x) <b\). Novamente para as funções reais, uma função é indicada como a função limitada acima da qual o valor nunca pode ser maior que um determinado valor e como uma função limitada inferiormente uma função cujo valor nunca pode ser menor que um determinado valor.