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Existe alguma matriz invertível A tal que A²=0(matriz nula)? Justifique.


1 resposta(s)

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Mathias

Há mais de um mês

Se uma matriz A é inversível, então a matriz A tem inversa e é não singular com determinante diferente de 0. Vamos chamar a inversa da matriz A de B

Logo podemos fazer:

A.B = B.A = I, pois A possui uma inversa à esquerda e à direita de A.

AB = I

Multipliquemos à esquerda por A:

A²B = AI, então A²B= A, por definição.

Porém, A² = 0

então:

0B = A

A = 0,

Mas a matriz nula não é inversível, o que é uma contradição. Logo não há tal matriz A.

Se uma matriz A é inversível, então a matriz A tem inversa e é não singular com determinante diferente de 0. Vamos chamar a inversa da matriz A de B

Logo podemos fazer:

A.B = B.A = I, pois A possui uma inversa à esquerda e à direita de A.

AB = I

Multipliquemos à esquerda por A:

A²B = AI, então A²B= A, por definição.

Porém, A² = 0

então:

0B = A

A = 0,

Mas a matriz nula não é inversível, o que é uma contradição. Logo não há tal matriz A.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos estudantes