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ALGEBRA LINEAR AULA 2- INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ Conteúdo Programático desta aula . Matriz Inversa: Definição. Exemplos. . Matriz Adjunta de uma matriz quadrada A . Propriedades da Matriz Inversa . Operações Elementares com as linhas de uma Matriz . Matrizes Linhas Equivalentes . Formas Escalonadas de uma Matriz . Posto de uma Matriz . Exercícios INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2 ÁLGEBRA LINEAR MATRIZ INVERSA DEFINIÇÃO Considere uma matriz quadrada A de ordem n. A matriz B, da mesma ordem que A, denominamos inversa de A se o produto delas for a matriz identidade. Assim: AB = BA = In A matriz B que é a inversa de A é indicada por A-1. Logo: A.A-1 = A-1 . A = In Obs.: 1. A matriz inversa A-1 será também de ordem n. 2. Se não existir a inversa, dizemos que a matriz A não é inversivel ou uma matriz singular. INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2 ÁLGEBRA LINEAR EXEMPLO. Determine a inversa da matriz A = 2 5 1 3 SOLUÇÃO: Fazendo A-1 = a b , temos: c d A.A-1=I2 => 2 5 . a b = 1 0 => 1 3 c d 0 1 2a+5c 2b+5d = 1 0 => a+3c b+3d 0 1 INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2 ÁLGEBRA LINEAR Logo: A-1= 3 -5 -1 2 Então temos que: A. A-1 = A-1 . A = I2 Observe ainda que considerando A = a b e sua c d inversa como B = x y obtemos: z w A.B = I2 =>A.A-1 = I2 => ax+bz ay+bw = 1 0 cx+dz cy+dw 0 1 INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2 ÁLGEBRA LINEAR Daí obtemos: e e Note que: det A = ad – bc. Desse modo podemos escrever: d -b -c a INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2 ÁLGEBRA LINEAR Assim podemos calcular a matriz inversa da matriz A = 2 5 1 3 será: d -b -c a . Logo: det A = 2.3 – 1.5 = 6 – 5 = 1 DaÍ: A-1 = 1/1 3 -5 => A-1 = 3 -5 -1 2 -1 2 Note que desse modo faz-se menos cálculos. De modo geral uma matriz quadrada de ordem n é inversivel se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2 ÁLGEBRA LINEAR MATRIZ ADJUNTA DE UMA MATRIZ QUADRADA A A MATRIZ ADJUNTA DE A indicada por A=Adj(A) é a transposta da matriz dos cofatores de A, isto é: Adj(A)= (A)t EXEMPLO: Calcular a matriz inversa da matriz A = 2 5 1 3 SOLUÇÃO: Os cofatores da matriz A são: A11=(-1)1+1.3=3 A12=(-1)1+2.1=-1 A21=(-1)2+1.5=-5 A22=(-1)2+2.2=2 INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2 ÁLGEBRA LINEAR A matriz dos cofatores de A é: A’ = 3 -1 -5 2 A matriz adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores de A: A = 3 -5 -1 2 Logo, a matriz inversa de A é: A-1= . A = . 3 -5 => A-1 = 3 -5 -1 2 -1 2 INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2 ÁLGEBRA LINEAR PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA Sejam A e B matrizes quadradas inversiveis de ordem n. A matriz inversa da matriz identidade é a matriz identidade. (A-1) -1 = A (k.A) -1 = . A-1 (At) -1 = (A-1)t (A.B) -1 = B—1 . A-1 6. (det A-1) = INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2 ÁLGEBRA LINEAR OPERAÇÕES ELEMENTARES COM AS LINHAS DE UMA MATRIZ. As possíveis operações elementares com as linhas de uma matriz são: Troca de Linhas. Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo. Substituição de uma linha por ela própria adicionada a uma outra linha multiplicada por um escalar. INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2 ÁLGEBRA LINEAR MATRIZES LINHAS EQUIVALENTES A matriz B é linha equivalente a uma matriz A se B for obtida de A por um número finito de operações elementares. EXEMPLO: INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2 ÁLGEBRA LINEAR FORMA ESCALONADA DE UMA MATRIZ Uma matriz retangular está escalonada se satisfaz as três seguintes propriedades: Todas as linhas não nulas estão acima de qualquer linha só de zeros. Cada coluna que apresentar o primeiro elemento não nulo de uma linha deve ter todos os outros elementos iguais a zero. O número de zeros que precede o primeiro elemento nãonulo de cada linha deve crescer linha após linha. Toda linha nula deve vir abaixo de todas as linhas nãonulas. INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2 ÁLGEBRA LINEAR EXEMPLOS: INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2 ÁLGEBRA LINEAR POSTO DE UMA MATRIZ Considere uma matriz B que represente a matriz escalonada de uma matriz A. Denomina-se posto de A , denotado por pos(A), ao número de linhas não nulas da matriz B. EXEMPLOS: INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2 ÁLGEBRA LINEAR Na aula de hoje estudamos: . Matriz Inversa: Definição. . Matriz Adjunta de uma matriz quadrada A . Propriedades da Matriz Inversa . Operações Elementares com as linhas de uma Matriz . Matrizes Linhas Equivalentes . Formas Escalonadas de uma Matriz . Posto de uma Matriz . Exercícios INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2 ÁLGEBRA LINEAR 3 1 0 3 1 5 2 = - = Þ î í ì = + = + ea c c a c a 5 2 1 3 0 5 2 - = = Þ î í ì = + = + eb d d b d b A d x det = A c z det - = A b y det - = A a w det = A A det 1 1 = - A det 1 1 1 k 1 A det 1
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