Suponha que uma lamina

E

Tem-se a densidade superficial δ(x, y, z) = δ0. Portanto, a massa da lâmina é encontrada pela integral do produto entre a área e a densidade superficial.

De acordo com a função z = x² + y², a integral da massa da superfície fica da seguinte forma:

-> m = ∫ δ(x, y, z) √[ (dz/dx)² + (dz/dy)² + 1 ] dA

-> m = ∫δ0 √[ ( d(x² + y²)/dx )² + ( d(x² + y²)/dy )² + 1 ] dA

-> m = δ0 ∫√[ ( 2x + 0 )² + ( 0 + 2y )² + 1 ] dA

-> m = δ0 ∫√[ 4x² + 4y² + 1 ] dA

-> m = δ0 ∫√[ 4(x² + y²) + 1 ] dA

Com base nas superfícies z = x² + y² e z = 1, a interseção entre elas é a circunferência x² + y² = 1².

Aplicando coordenadas cilíndricas, tem-se x = rcosθ, y = rsinθ, x² + y² = r² e dA = r dr dθ. Portanto, os limites de r e θ são:

-> 0 ≤ r ≤ 1

-> 0 ≤ θ ≤ 2π

Portanto, a integral fica da seguinte forma:

-> m = δ0 ∫√[ 4(x² + y²) + 1 ] dA

-> m = δ0 ∫∫√[ 4r² + 1 ] r dr dθ

Criando uma nova variável u = 4r² + 1, tem-se du = 8r dr. Portanto, a integral fica da seguinte forma:

-> m = δ0 * 1/8 ∫∫ √[ 4r² + 1 ] 8r dr dθ

-> m = δ0 * 1/8 ∫∫ √[u] du dθ

-> m = δ0 * 1/8 ∫∫ (u)^(1/2) du dθ

-> m = δ0 * 1/8 ∫ (u)^(1/2 + 1)/(1/2 + 1) dθ

-> m = δ0 * 1/8 ∫ (u)^(3/2)/(3/2) dθ

Voltando à variável r, com 0 ≤ r ≤ 1:

-> m = δ0 * 1/8 * 2/3 (4r² + 1)^(3/2) ∫ dθ

-> m = δ0 * 2/24 [ (4*1² + 1)^(3/2) - (4*0² + 1)^(3/2) ] ∫ dθ

-> m = δ0 * 1/12 [ (4 + 1)^(3/2) - (0 + 1)^(3/2) ] ∫ dθ

-> m = δ0 * 1/12 [ (5)^(3/2) - 1 ] ∫ dθ

-> m = δ0 1/12 [ 5√5 - 1 ] ∫ dθ

Finalmente, integrando em 0 ≤ θ ≤ 2π, o valor de m é:

-> m = δ0 1/12 [ 5√5 - 1 ] (θ)

-> m = δ0 [ 5√5 - 1 ] (2π - 0)/12

-> m = δ0 [ 5√5 - 1 ] 2π/12

-> m = π*δ0/6 [ 5√5 - 1 ]

Solução: letra a).

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