A abscissa de um ponto P é -6 e sua distancia ao ponto Q(1,3) é 74 Determine a ordenada do ponto?

Esse foto é a construção do problema e nos ajuda a entender o que estamos procurando.

Veja que o ponto Q é fixo, e o ponto P está em algum lugar da reta em azul.

Precisamos encontrar o lugar para o ponto P de modo que a distância entre P e Q (segmento amarelo) seja 74. Veja que olhando para esta construção, podemos ver que há dois lugares em que P pode estar de modo que a distância seja 74;

Nós podemos dizer isso pois claramente podemos esticar o segmento amarelo levando o ponto P para cima na reta; ou então esticá-lo descendo o ponto P pela reta azul.

Para a resolução:

Note que podemos formar um triângulo retângulo se traçarmos o segmento QR (onde R é a projeção de Q sobre aquela reta $y=-6$ )

Veja que o valor do segmento QR é facilmente obtido, basta somar o módulo das abcissas dos pontos Q e P;

então:

$|-6|+|1|=6+1=7$

Veja que temos o triângulo retângulo, sabemos o valor de um dos catetos ( 7 ), e queremos que a hipotenusa seja igual à 74. Então podemos montar a equação:

$74^2=7^2+P{R}^2$

$5476-49=P{R}^2$

$5427=P{R}^2$

$\pm \sqrt{5427}=PR$

$\pm 9\sqrt{67}=PR$

Porém, veja que a ordenada do ponto P é igual a distância $PR$ $-$ $OrdenadadeR$ ; na próxima figura fica mais claro:

A ordenada de P, é igual à $PR+p$ , e $p$ é a ordenada do ponto R;

Então, se a ordenada de R é 3; temos:

$y_1,y_2=$ $3\pm 9\sqrt{67}$

Então temos duas possibilidades para P, como já havíamos previsto:

$P_1=(-6,3+9\sqrt{67}),P_2=(-6,3-9\sqrt{67})$ .