Como é feita a expansão de funções parciais em que o numerador é 4s +1 e o denominador é s(s+1)(s+3)?

(4s+1)/s*(s+1)*(s+3)= A/s + B/(s+1)+ C/(s+3) = ((s+1)A+ sB/s(s+1)) + c/(s+3) = ((As+A+Bs)(s+3) + s(s+1)C )/ s(s+1)(s+3)

portanto temos a igualdade

4s+1 = ((As+A+Bs)(s+3) + s(s+1)C

4s+1= As^2 +As+Bs+3As+3A+3Bs+cs^2 + cs

4s+1= (A+B+C)s^2 + (A+3A+3B+C)s +3A

agora montamos os sistemas

4= (A+3A+3B+C) ->

1= 3A -> A= 1/3

0=(A+B+C)-> A+B+C=0

agora com o valor de A temos o sistema

B+C= -1/3

3B+C= 8/3

resolvendo esse sistema

1) subtraindo as duas equaçoes temos

3B-B=-1/3-8/3 -> B= 3/2

agora substinudo na equação B+C=-1/3, o valor de C é igual a -11/6

portanto

(4s+1)/s*(s+1)*(s+3)= A/s + B/(s+1)+ C/(s+3)

(4s+1)/s*(s+1)*(s+3)= 1/3s + 3/2(s+1) -11/6(s+3)