Dê a equação da parábola de vértice (2,1) e diretriz 4x + 3y = 1. Alguém poderia me ajudar ?

0) Definição de parábola:

Tem-se que P é um ponto qualquer da parábola, F(xf, yf) é o foco e Q(xq, yq) é o ponto da diretriz mais próximo de P.

Uma parábola consiste numa curva cuja distância PF é sempre igual à distância PQ.

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1) Reta normal à diretriz que intercede o vértice V(2, 1) da parábola:

O coeficiente angular da reta ax + by + c = 0 é m = -a/b. Portanto, o coeficiente angular da diretriz de equação 4x + 3y - 1 = 0 é:

-> m_dir = -4/3

Portanto, a reta normal à diretriz possui coeficiente angular igual a:

-> m_nor = - 1/m_dir

-> m_nor = - 1/(-4/3)

-> m_nor = 3/4

-> m_nor = 0,75

Portanto, a equação da reta normal que passa pelo vértice V(x₀, y₀) = V(2, 1) é:

-> y - y₀ = m_nor(x - x₀)

-> y - 1 = 0,75⋅(x - 2)

-> y - 1 = 0,75x - 1,5

-> y_nor = 0,75x - 0,5

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2) Ponto Q(xq, yq):

A reta normal (y_nor = 0,75x - 0,5) intercepta o ponto da diretriz (4x + 3y - 1 = 0) mais próximo do vértice V(2, 1) da parábola.

Sendo Q(xq, yq) esse ponto de interseção, tem-se o seguinte:

-> 4x + 3y_nor - 1 = 0

-> 4x + 3⋅(0,75x - 0,5) - 1 = 0

-> 4x + 2,25x - 1,5 - 1 = 0

-> 6,25x - 2,5 = 0

-> 6,25x = 2,5

-> x = 0,4

{ y_nor = 0,75x - 0,5 = 0,75⋅0,4 - 0,5 = - 0,2

Portanto, tem-se o ponto Q(xq, yq) = Q(0,4, -0,2).

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3) Foco F(xf, yf):

O vértice V(2, 1) da parábola é o ponto médio entre Q(0,4, -0,2) e F(xf, yf). Portanto, tem-se a seguinte equação:

-> Q + F = 2V

-> F = 2V - Q

Portanto, o foco F(xf, yf) da parábola é:

-> F = 2⋅(2, 1) - (0,4, -0,2)

-> F = (4, 2) - (0,4, -0,2)

-> F = ( 3,6, 2,2 )

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4.1) Distância parábola-diretriz:

Fórmula geral da distância D entre um ponto P(x, y) e uma reta ax + by + c = 0:

-> D = | ax + by + c | / √[ a² + b² ]

Portanto, a distância entre um ponto P(x, y) qualquer da parábola e a reta diretriz 4x + 3y - 1 = 0 é:

-> PQ = | 4x + 3y - 1 | / √[ 4² + 3² ]

-> PQ = | 4x + 3y - 1 | / √25

-> PQ = | 4x + 3y - 1 | / 5 (I)

4.2) Distância parábola-foco:

A distância entre um ponto P(x, y) qualquer da parábola e o foco F( 3,6, 2,2 ) é:

-> PF = √[ ( x - 3,6 )² + ( y - 2,2 )² ] (II)

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5) Equação de parábola:

Com base no que é explicado, deve-se igualar as equações (I) e (II). Com isso, tem-se o seguinte:

-> PF = PQ

-> √[ ( x - 3,6 )² + ( y - 2,2 )² ] = 1/5 | 4x + 3y - 1 |

-> ( x - 3,6 )² + ( y - 2,2 )² = 1/5² [ (4x) + (3y - 1) ]²

Abrindo os termos, a equação da parábola é:

-> ( x² - 7,2x + 12,96 ) + ( y² - 4,4y + 4,84 ) = 1/25 [ 16x² + 8x⋅(3y - 1) + (3y - 1)² ]

-> ( x² - 7,2x ) + ( y² - 4,4y ) + 17,8 = 1/25 [ 16x² + 24xy - 8x + (9y² - 6y + 1) ]

-> ( 25x² - 180x ) + ( 25y² - 110y ) + 445 = (16x² - 8x) + (9y² - 6y) + 24xy + 1

-> ( 9x² - 172x ) + ( 16y² - 104y ) - 24xy + 444 = 0

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Solução: 9x² - 172x + 16y² - 104y - 24xy + 444 = 0.

Se gostou, dá um joinha!