Dê a equação da parábola de vértice na origem e diretriz 2x + y = 1. Alguém poderia me ajudar a resolver?

0) Definição de parábola:

Tem-se que P é um ponto qualquer da parábola, F(xf, yf) é o foco e Q(xq, yq) é o ponto da diretriz mais próximo de P.

Uma parábola consiste numa curva cuja distância PF é sempre igual à distância PQ.

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1) Reta normal à diretriz que intercede o vértice V(0, 0) da parábola:

O coeficiente angular da reta ax + by + c = 0 é m = -a/b. Portanto, o coeficiente angular da diretriz de equação 2x + y - 1 = 0 é:

-> m_dir = -2/1

-> m_dir = -2

Portanto, a reta normal à diretriz possui coeficiente angular igual a:

-> m_nor = - 1/m_dir

-> m_nor = - 1/(-2)

-> m_nor = 1/2

Portanto, a equação da reta normal que passa pelo vértice V(x₀, y₀) = V(0, 0) é:

-> y - y₀ = m_nor(x - x₀)

-> y - 0 = 1/2 (x - 0)

-> y_nor = 1/2 x

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2) Ponto Q(xq, yq):

A reta normal (y_nor = 1/2 x) intercepta o ponto da diretriz (2x + y - 1 = 0) mais próximo do vértice V(0, 0) da parábola.

Sendo Q(xq, yq) esse ponto de interseção, tem-se o seguinte:

-> 2x + y_nor - 1 = 0

-> 2x + 1/2 x - 1 = 0

-> 5/2 x - 1 = 0

-> 5/2 x = 1

-> x = 2/5

{ y_nor = 1/2 x = 1/2⋅2/5 = 1/5

Portanto, tem-se o ponto Q(xq, yq) = Q(2/5, 1/5).

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3) Foco F(xf, yf):

O vértice V(0, 0) da parábola é o ponto médio entre Q(2/5, 1/5) e F(xf, yf). Portanto, tem-se a seguinte equação:

-> Q + F = 2V

-> F = 2V - Q

Portanto, o foco F(xf, yf) da parábola é:

-> F = 2(0, 0) - (2/5, 1/5)

-> F = (0, 0) - (2/5, 1/5)

-> F = ( -2/5, -1/5 )

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4.1) Distância parábola-diretriz:

Fórmula geral da distância D entre um ponto P(x, y) e uma reta ax + by + c = 0:

-> D = | ax + by + c | / √[ a² + b² ]

Portanto, a distância entre um ponto P(x, y) qualquer da parábola e a reta diretriz 2x + y - 1 = 0 é:

-> PQ = | 2x + y - 1 | / √[ 2² + 1² ]

-> PQ = | 2x + y - 1 | / √5 (I)

4.2) Distância parábola-foco:

A distância entre um ponto P(x, y) qualquer da parábola e o foco F( -2/5, -1/5 ) é:

-> PF = √[ ( x - (-2/5) )² + ( y - (-1/5) )² ]

-> PF = √[ (x + 2/5)² + (y + 1/5)² ] (II)

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5) Equação de parábola:

Com base no que é explicado, deve-se igualar as equações (I) e (II). Com isso, tem-se o seguinte:

-> PF = PQ

-> √[ (x + 2/5)² + (y + 1/5)² ] = | 2x + y - 1 | / √5

-> (x + 2/5)² + (y + 1/5)² = | 2x + y - 1 |² / 5

-> (x + 0,4)² + (y + 0,2)² = 0,2⋅[ (2x) + (y - 1) ]²

Abrindo os termos, a equação da parábola é:

-> (x² + 0,8x + 0,16) + (y² + 0,4y + 0,04) = 0,2⋅[ 4x² + 4x(y - 1) + (y - 1)² ]

-> (x² + 0,8x) + (y² + 0,4y) + 0,2 = 0,2⋅[ 4x² + 4xy - 4x + (y² - 2y + 1) ]

-> (x² + 0,8x) + (y² + 0,4y) + 0,2 = 0,8x² + 0,8xy - 0,8x + 0,2y² - 0,4y + 0,2

-> (x² + 0,8x) + (y² + 0,4y) = (0,8x² - 0,8x) + (0,2y² - 0,4y) + 0,8xy

-> (0,2x² + 1,6x) + (0,8y² + 0,8y) - 0,8xy = 0

-> (x² + 8x) + (4y² + 4y) - 4xy = 0

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Solução: x² + 8x + 4y² + 4y - 4xy = 0.

Se gostou, dá um joinha!

Gráfico da parábola x² + 8x + 4y² + 4y - 4xy = 0 (azul) e da reta diretriz 2x + y = 1 (vermelho):