Ache o volume do sólido interno à esfera x² + y² + z² = 2z e acima do paraboloide x² + y² = z

1) Limites de z:

Pela equação da esfera x² + y² + z² = 2z, tem-se o seguinte:

-> x² + y² + z² = 2z

-> x² + y² + z² - 2z = 0

-> x² + y² + z² - 2z + 1 = 1

-> x² + y² + (z - 1)² = 1

-> (z - 1)² = 1 - (x² + y²)

-> z - 1 = ± √[ 1 - (x² + y²) ]

-> z = 1 ± √[ 1 - (x² + y²) ]

Portanto, o sólido limitado superiormente pela esfera é:

-> z = 1 + √[ 1 - (x² + y²) ]

E o sólido limitado inferiormente pelo paraboloide é:

-> z = x² + y²

Portanto, os limites de z são:

-> x² + y² ≤ z ≤ 1 + √[ 1 - (x² + y²) ]

-----------------------------------------------------

2) Limites de x e y: interseção entre esfera e paraboloide.

Substituindo z = x² + y² (paraboloide) em x² + y² + z² = 2z (esfera):

-> x² + y² + (x² + y²)² = 2(x² + y²)

-> (x² + y²)² = 2(x² + y²) - (x² + y²)

-> (x² + y²)² = (x² + y²)

{ x² + y² = 0

{ x² + y² = 1

-----------------------------------------------------

3) Limites de r e θ:

Aplicando coordenadas cilíndricas, tem-se x = r⋅cosθ, y = r⋅senθ e dA = r dr dθ.

Com a região de equação x² + y² = 1² = 1, os limites de r e θ são:

{ 0 < r < 1

{ 0 < θ < 2π

-----------------------------------------------------

4) Integral de volume:

-> V = ∫∫∫ dV

-> V = ∫∫∫ dz dA

-> V = ∫∫ [ z ] dA

-> V = ∫∫ { 1 + √[ 1 - (x² + y²) ] - (x² + y²) } dA

Aplicando coordenadas cilíndricas:

-> V = ∫∫ { 1 + √[ 1 - r² ] - r² } r dr dθ

Integrando em θ e substituindo 0 < θ < 2π:

-> V = ∫ { 1 + √[ 1 - r² ] - r² } r dr ∫ dθ

-> V = ∫ { 1 + √[ 1 - r² ] - r² } r dr (θ)

-> V = ∫ { 1 + √[ 1 - r² ] - r² } r dr ( 2π - 0 )

-> V = 2π ∫ { 1 + √[ 1 - r² ] - r² } r dr

-> V = 2π ∫ √[ 1 - r² ] r dr + 2π ∫ (1 - r²) r dr

-----------------------------------------------------

Criando a variável u = 1 - r², tem-se du = -2r dr. Com isso, a primeira integral fica da seguinte forma:

-> V = π ∫ √[ 1 - r² ] 2r dr + 2π ∫ (1 - r²) r dr

-> V = - π ∫ u^(½) du + 2π ∫ (r - r³) dr

-> V = - π 2/3 u^(3/2) + 2π ( r²/2 - r⁴/4 )

-> V = - 2π/3 (1 - r²)^(3/2) + π ( r² - r⁴/2 )

Substituindo 0 < r < 1, o valor de V é:

-> V = [ - 2π/3 (1 - 1²)^(3/2) + π ( 1² - 1⁴/2 ) ] - [ - 2π/3 (1 - 0²)^(3/2) + π ( 0² - 0⁴/2 ) ]

-> V = [ - 2π/3 (0)^(3/2) + π ( 1/2 ) ] - [ - 2π/3 (1)^(3/2) + π ( 0 ) ]

-> V = [ π/2 ] - [ - 2π/3 ]

-> V = π/2 + 2π/3

-> V = 3π/6 + 4π/6

-> V = 7π/6

-----------------------------------------------------

Solução: o volume do sólido é 7π/6 unidades de volume.

Se gostou, dá um joinha!