Dado o triângulo de vértices A(−3,−2, 1), B(5, 1,m) e C(4, 3, 2), determine os posśıveis valores de m para que este triângulo seja retângulo, ...

Para determinar os possíveis valores de m para que o triângulo seja retângulo, precisamos verificar se o produto escalar entre os vetores AB e AC é igual a zero. O vetor AB é dado por AB = B - A, então temos AB = (5 - (-3), 1 - (-2), m - 1) = (8, 3, m - 1). O vetor AC é dado por AC = C - A, então temos AC = (4 - (-3), 3 - (-2), 2 - 1) = (7, 5, 1). Calculando o produto escalar entre AB e AC, temos: AB · AC = (8 * 7) + (3 * 5) + ((m - 1) * 1) = 56 + 15 + m - 1 = 70 + m. Para que o triângulo seja retângulo, o produto escalar AB · AC deve ser igual a zero. Portanto, temos a seguinte equação: 70 + m = 0. Resolvendo essa equação, encontramos: m = -70. Portanto, o único valor possível para m, para que o triângulo seja retângulo, é m = -70. Para determinar os cossenos diretores do vetor com origem em A e extremidade em C, podemos utilizar a fórmula dos cossenos diretores: cos α = ACx / AC cos β = ACy / AC cos γ = ACz / AC Onde ACx, ACy e ACz são as coordenadas do vetor AC e AC é o módulo desse vetor. Calculando os cossenos diretores, temos: cos α = 7 / √(7^2 + 5^2 + 1^2) cos β = 5 / √(7^2 + 5^2 + 1^2) cos γ = 1 / √(7^2 + 5^2 + 1^2) Simplificando as expressões, temos: cos α = 7 / √75 cos β = 5 / √75 cos γ = 1 / √75 Esses são os cossenos diretores do vetor com origem em A e extremidade em C.