sel310-A19 Reflexao P1 Sel310 612

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Reflexão e Transmissão
Propriedades da onda plana polarizada 
perpendicularmenteperpendicularmente
SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
Atenção!
� Este material didático é 
planejado para servir de apoio 
às aulas de SEL-310 E SEL-612: 
Ondas Eletromagnéticas, 
oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de engenharia de curso de engenharia de 
computação.
� Não são permitidas a 
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docente para qualquer tipo de 
uso distinto daquele para o 
qual foi planejado.
2SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL10/05/2012
Vetor propagação e frente de onda
x k
E
superfície de 
fase constante
E : campo elétrico
Onda plana uniforme
10/05/2012 3SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
H
1r
r : posição
H : campo magnético
k : propagação
Onda plana uniforme-1
( ) .
0 0
ˆ ˆx z
j k x k z j k r
y y
E E e a E e a
− + −= =
ˆ ˆ
x x z z
k k a k a= +
ˆ ˆ
x z
r xa za= +
Campo elétrico
Vetor propagação
Vetor posição
x k
E
H
x k
E
H
10/05/2012 4SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
x z
( ) ( )0
1 1
ˆ ˆ x z
j k x k z
z x x z
EE
H k a k a e
jωµ ωµ
− +∇×
= = − +
−
( )
2
*
0
1
ˆ ˆ
x x z z
E
S E H k a k a
ωµ
= × = +
Campo
magnético
Vetor de Poynting
complexo
z
1r
z
1r
Onda plana uniforme-2
Campo elétrico: direção y
Campo magnético: plano x-z
Vetor de Poynting complexo: plano x-z; 
Direção do vetor propagação (plano x-z)
x k
E
x k
E
10/05/2012 5SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
E
H
1r
z
E
H
1r
Plano de incidência
n: versor normal à interface
k: vetor propagação
n
k
interface
10/05/2012 6SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
É o plano que contém 
o versor normal à interface entre os 2 meios
e o 
vetor propagação da onda
kn
plano de incidência
Polarização da onda
plano de incidência
E E
plano de incidência
10/05/2012 7SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
E
polarização normal
ou
perpendicular
polarização paralela
E
Plano de polarização e onda incidente
Interface entre os dois meios
θi z
x
incidente
ik
10/05/2012 8SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Interface entre os dois meios
nˆ
1meio
1,1 εµ
2meio
2,2 εµ
iE
ik
ik
nˆ
Plano de polarização
Incidência, reflexão e transmissão-1
x
Ei
10/05/2012 9SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
Meio 1 Meio 2
ki
Hi
legenda
Incidência, reflexão e transmissão-2
x
Er
Ei
Et
kt
Hr
H
10/05/2012 10SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
kr
ki
Hi
Ht
Meio 1 Meio 2
interface
Polarização perpendicular-1
θr θt
x
rk
tk
refletida
transmitida
10/05/2012 11SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Interface entre os dois meiosnˆ
θi
1meio
1,1 εµ
2meio
2,2 εµ
z
ik
incidente
iE
Polarização perpendicular-2
rH
rE
rk
θr θt
x
rk
tk
θr θt
x
rk
tk
tH
tE
10/05/2012 12SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
iH
iE
ik Interface entre os dois meiosnˆ
iE
θi
t
1meio
1,1 εµ
2meio
2,2 εµ
z
ik Interface entre os dois meiosnˆiE
θi
t
1meio
1,1 εµ
1meio 11meio
1,1 εµ
2meio
2,2 εµ
2meio 22meio
2,2 εµ
z
ik
VETOR PROPAGAÇÃO
COMPONENTES DOS CAMPOS
10/05/2012 13SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Vetor propagação
ˆ ˆi
ix x iz z
k k a k a= +
ˆ ˆr
rx x rz z
k k a k a= −
incidente
refletida
onda vetor propagação
zθi
x
k
ixk
izk
zθi
x
k
ixk
izk
10/05/2012 14SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
ˆ ˆr
rx x rz z
k k a k a= −
ˆ ˆt
tx x tz z
k k a k a= +transmitida
Nesta situação especial o vetor propagação está no plano x-z
ik iz
k
ik iz
k
Componentes do
vetor propagação
da onda incidente 
Campos da onda incidente
( )
0
ˆix iz
j k x k z
i
y
E E e a
− +
=
( ) ( )0
1
ˆ ˆ ix iz
j k x k z
i
iz x ix z
E
H k a k a e
ωµ
− +
= − +
elétrico
magnético
y
x
iE
10/05/2012 15SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
x
Meio 1
iH
ik
Campos da onda refletida
elétrico
magnético
( )
0
ˆrx rz
j k x k z
r
I y
E R E e a
− −
=
( ) ( )0
1
ˆ ˆ rx rz
j k x k zI
r
rz x rx z
R E
H k a k a e
ωµ
− −
= +
10/05/2012 16SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
y
x
Meio 1
rE
rH
rkR
I
: coeficiente
de reflexão
Campos da onda transmitida
elétrico
magnético
( )
0
ˆtx tz
j k x k z
t
I y
E T E e a
− +
=
( ) ( )0
2
ˆ ˆ tx tz
j k x k zI
t
tz x tx z
T E
H k a k a e
ωµ
− +
= − +
y
x
tE
10/05/2012 17SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
x
Meio 2
tH
tk
T
I
: coeficiente
de transmissão
CONDIÇÕES DE CONTORNO
Condição de fase casada
Coeficientes de transmissão e reflexão
10/05/2012 18SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Condições de Contorno: Componentes Normais
( )
( )
2 1
2 1 0
sD
B
D
B
n
n
ρ
⋅ =
=
−
⋅ −
ɵ
ɵ
10/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 19
2 1n n SD D ρ− =
2 1 0n nB B− =
Condições de Contorno: Componentes Tangenciais
( )
( )
2 1
2 1
0
sn
n E E
H H K× −
× − =
=ɵ
ɵ
10/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 20
2
2
1
1t
t
t
tH
E E
H=
=
Condições de contorno-1
Se nenhum dos 2 meios é um condutor perfeito, 0SK =
As componentes tangenciais dos campos elétrico e magnético
devem ser contínuas na interface que está situada em z=0
y
x
y
x
10/05/2012 21SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
x
Meio 1 Meio 2
interface
z
x
Meio 1 Meio 2
interface
Componentes do campo elétrico
y
x
EiEiEi
refletida transmitida
Et,tangente
Er,tangente
10/05/2012 22SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
Meio 1 Meio 2
Ei
ki
Hi
legenda
Ei
ki
Hi
Ei
ki
Hi
legenda
incidente
Ei,tangente
Condições de contorno para E
( )
0
rx rz
j k x k z
I
R E e
− +
( )
0
ix iz
j k x k z
E e
− +
( )
0
tx tz
j k x k z
I
T E e
− +
Incidente: componente tangencial de E
Refletida: componente tangencial de E
Transmitida: componente tangencial de E
O vetor campo elétrico resultante no meio 1 é igual igual ao 
10/05/2012 23SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
O vetor campo elétrico resultante no meio 1 é igual igual ao 
vetor campo elétrico no meio 2 (componentes tangenciais) em z=0
z
y
x
Meio 1 Meio 2
Et,tangente
Ei,tangente
Er,tangente
z
y
x
Meio 1 Meio 2
Et,tangente
Ei,tangente
Er,tangente
0
Re
0 0
i tx rx x
jk x
I
fletida
jk x jk x
I
TransmitiIncide t dan e
T E eE e R E e
− − −
+ =
��������� �� �������� ���� ����
Meio 1 Meio 2
Componentes do campo magnético
y
x
EiEiEi
refletida transmitida
Ht,tangente
Hr,tangente
10/05/2012 24SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
Meio 1 Meio 2
Ei
ki
Hi
legenda
Ei
ki
Hi
Ei
ki
Hi
legenda
incidente
Hi,tangente
Condições de contorno para H
Incidente: componente tang. de H
Refletida: componente tang. de H
Transmitida: componente tang. de H
O vetor campo magnético resultante no meio 1 é igual igual ao 
vetor campo magnético no meio 2 (componentes tangenciais) em z=0
( ) ( )0 1 ix iz
j k x k z
iz
E k eωµ
− +
−
( ) ( )0 1 rx rz
j k x k z
I rz
R E k eωµ
− −
( ) ( )0 2 tx tz
j k x k z
I tz
T k E eωµ
− +
−
10/05/2012 25SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
vetor campo magnético no meio 2 (componentes tangenciais) em z=0
z
y
x
Meio 1
Meio 2
Ht,tang
Hr,tang
Hi,tang
z
y
x
Meio 1
Meio 2
Ht,tang
Hr,tang
Hi,tang
1 21
i rx xx I
jk xrzjk j
I
xizk xtz
I
k
e R e
k
T e
k
µ µµ
− −−
− + = −
Meio 1 Meio 2
Condição de casamento de fase-1
ix rx ix
j x j x j xiz rk k tz
I
kz
I
k k k
e R e T e
µ µ µ
− − −
− + = −
ix rx tx
k kj x j kx j x
I I
e R e T e
− − −
+ =
As equações resultantes da aplicação das condições de contorno são:
10/05/2012 26SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
1 1 2
II
e R e T e
µ µ µ
− + = −
Estas 2 equações devem valer em qualquer posição da interface
(não deve depender de x). Assim,
ix rx tx
k k k= =
Condição de casamento de fase-2
y
x
refletida
transmitida
rk
tk
tzkrxk
txk
10/05/2012 27SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
Meio 1 Meio 2
incidente
ik
ixk
rzk
ix rx tx
k k k= =
em z=0
izk
Relação entre kiz e krz - 1
( )2 21 , 0i rk E E∇ + =
2 2
1 1 1
k ω µ ε=
( )2 22 0tk E∇ + =
As equações de onda para as componentes de campo elétrico
das ondas incidente, refletida e transmitida são: 
e
onde
2 2
2 2 2
k ω µ ε=e
10/05/2012 28SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
As expressões das componentes dos campos são dadas por:
( )
0
ˆix iz
j k x k z
i
y
E E e a
− +
=
( )
0
ˆrx rz
j k x k z
r
I y
E R E e a
− −
=
( )
0
ˆtx tz
j k x k z
t
I y
E T E e a
− +
=
Ei
ki
Hi
Ei
ki
Hi
Relação entre kiz e krz - 2
A substituição das expressões de campos nas equações de onda
resulta em:
2 2 2
1
2 2 2
1
2 2 2
ix iz
rx rz
k k k
k k k
k k k
+ =
+ =
+ =
1 1
r
r
k kω µ ε=
⌢
rxk
10/05/2012 29SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
2tx tz
k k k+ =
como,
ix rx tx
k k k= =
então,
iz rz
k k=
Meio 1
izk
ixk
rzk
1 1
i
i
k kω µ ε=
⌢
Componentes tangenciais de E e H
rH
rE
rk
θr θt
x
rk
tk
θr θt
x
rk
tk
tH
tE
10/05/2012 30SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
iH
iE
ik Interface entre os dois meiosnˆ
iE
θi
t
1meio
1,1 εµ
2meio
2,2 εµ
z
ik Interface entre os dois meiosnˆiE
θi
t
1meio
1,1 εµ
1meio 11meio
1,1 εµ
2meio
2,2 εµ
2meio 22meio
2,2 εµ
z
ik
Coeficientes de transmissão e reflexão-1
Componentes tangenciais de e 
r ti
E E
H
E
E
+ =
10/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 31
meio 1 meio 
1 1 2
2
cosos oc c s
r
r i
t
ti t
i
i
E EE θ
η
θ
η
θ
η
+ =−−
�������������������� ������� �����
Coeficientes de transmissão e reflexão-2
Dividindo por 
cos cos cos
i r t
i i i
i i r i t t
i
E E E
E E E
E E E
E EE
E
θ θ θ
η η η
+ =
− + =−
10/05/2012 32SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
1 1 2
1 1 2
1
cos cos cos
i i i
i i tI
I
I
I
R
R
T
E E
T
E η η η
θ θ θ
η η η
− + =−
+ =
− + =−
Coeficientes de transmissão e reflexão-3
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 1
2 1
cos cos
cos cos
i t
I
i t
R
η θ η θ
η θ η θ
−
=
+
10/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 33
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 1
2
2 1
2 cos
cos cos
i t
i
I
i t
T
η θ
η θ η θ
=
+