Lista 1 -Resistência dos Materiais

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Disciplina:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA PRODUÇÃO
LISTA 1
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
1. Calcule a tensão de compressão c na haste circular do pistão quando uma força P
= 40 N for aplicada no pedal de freio. Assumir que a linha de ação da força P é
paralela a haste do pistão, o qual tem um diâmetro de 5 mm. Também, as outras
dimensões indicadas na figura (50 mm e 225 mm) são medidas perpendiculares à
linha de ação da fora P.
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
+↶ 𝑀𝐴 = 0
Considerando o ponto fixo do pedal como A 
Aplicando a equação do equilíbrio no pedal:
𝐹 0,05 − 40 0,275 = 220𝑁
Utilizando a tensão normal:
𝜎𝑐 =
𝐹
𝐴
=
220𝑁
𝜋
4 (0,005)
2
= 11.204.507,99 𝑃𝑎
𝜎𝑐 = 11,2𝑀𝑃𝑎
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
2. Duas barras cilíndricas de seção transversal cheia AB e BC são soldadas uma à 
outra em B e submetidas a um carregamento conforme mostra a figura. Sabendo 
que a tensão normal média não pode exceder 175 MPa na barra AB e 150 MPa na 
barra BC, determine os menores valores admissíveis de d1 e d2.
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
𝑑1 = 22,6 𝑚𝑚
Barra AB – Forças que agem na barra AB
𝑃 = 40𝑘𝑁 + 30𝑘𝑁 = 70𝑘𝑁 = 70𝑥103𝑁
𝜎𝐴𝐵 =
𝑃
𝐴
=
𝑃
𝜋
4 (𝑑1)
2
=
4𝑃
𝜋(𝑑1)
2
𝑑1 =
4𝑃
𝜋𝜎𝐴𝐵
=
(4)(70𝑥103)
𝜋(175𝑥106)
= 22,56𝑥10−3𝑚 = 22,6 𝑚𝑚
Aplicando a Equação da Tensão Normal:
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
𝑑2 = 15,96 𝑚𝑚
Barra BC – Forças que agem na barra BC
𝑃 = 30𝑘𝑁 = 30𝑥103𝑁
𝜎𝑏𝑐 =
𝑃
𝐴
=
𝑃
𝜋
4 (𝑑2)
2
=
4𝑃
𝜋(𝑑2)
2
𝑑2 =
4𝑃
𝜋𝜎𝐵𝐶
=
(4)(30𝑥103)
𝜋(150𝑥106)
= 15,96𝑥10−3𝑚 = 15,96 𝑚𝑚
Aplicando a Equação da Tensão Normal:
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
3. As componentes de madeira A e B devem ser unidas por cobrejuntas de madeira 
compensada que serão totalmente coladas às superfícies em contato. Como parte 
do projeto da junção, e sabendo que a folga entre as extremidades das 
componentes deve ser 6 mm, determine o comprimento L mínimo permitido para 
que a tensão de cisalhamento média na cola não exceda 700 kPa.
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
Diagrama do corpo livre:
A força cortante F é:
𝐹 =
1
2
𝑃 =
1
2
15𝑥103𝑁 = 7,5𝑥103𝑁
Observamos que a força F age sobre a área dada por: A=h.b
h
b
𝜏 =
𝐹
𝐴
=
𝐹
ℎ𝑏
⇒ ℎ =
𝐹
𝜏𝑏
Como a tensão de cisalhamento não pode exceder 700 kPa: 
ℎ =
𝐹
𝜏𝑏
=
7,5𝑥103
700𝑥103(0,075)
= 0,14286𝑚 = 142,86𝑚𝑚
𝐿 = ℎ + 0,06 + ℎ = 291,72𝑚𝑚
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
4. O vínculo AB, com largura b = 50 mm e espessura t = 6 mm, é utilizado para 
suportar a extremidade de uma viga horizontal. Sabendo que a tensão normal média 
no vínculo é -140 MPa e que a tensão de cisalhamento média em cada um dos dois 
pinos é 80 MPa, determine:
(a) o diâmetro d dos pinos 
(b) a tensão de esmagamento média no vínculo.
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
(a) o diâmetro d dos pinos 
1º Determinar a força que age no vínculo: Compressão (-)
𝜎𝑐 =
−𝑃
𝐴
⇒ 𝑃 = −𝜎𝑐𝐴 = − −140𝑥10
6 0,05𝑥0,006 = 42𝑥103𝑁
2º Calcular o diâmetro do pino utilizando a tensão de cisalhamento
Simples, sendo Força cortante = Força do axial do vínculo V=P:
𝜏 =
𝑉
𝐴
⇒ 𝐴 =
𝑃
𝜏
=
42𝑥103
80𝑥106
= 525𝑥10−4𝑚2
𝑑 =
4𝐴
𝜋
=
4(525𝑥10−4)
𝜋
= 0,0259 𝑚 = 25,9 𝑚𝑚
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
(b) a tensão de esmagamento média no vínculo.
Utilizando a equação da tensão de esmagamento em um pino:
𝜎𝑒 =
𝑃
𝑡𝑑
=
42𝑥103
0,0259𝑥0,006
= 270,27 𝑀𝑃𝑎
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
5. O tirante está apoiado em sua extremidade por um disco circular fixo como 
mostrado na figura. Se a haste passa por um furo de 40 mm de diâmetro, 
determinar o diâmetro mínimo requerido da haste e a espessura mínima do disco 
necessários para suportar uma carga de 20 kN. A tensão normal admissível da haste 
é σadm = 60 MPa, e a tensão de cisalhamento admissível do disco é τadm = 35 MPa.
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
Diâmetro mínimo requerido 
Utilizando a formula da tensão normal:
𝜎 =
𝑃
𝐴
⇒ 𝐴 =
𝑃
𝜎
=
20𝑥103
60𝑥106
= 3,333𝑥10−4𝑚2
Calculando o diâmetro através da área:
𝑑 =
4𝐴
𝜋
=
4(3,333𝑥10−4)
𝜋
= 0,0206 𝑚 = 20,6𝑚𝑚
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
Espessura mínima do disco
Utilizando a formula da tensão de cisalhamento:
Calculando a espessura através da área do cilindro:
𝜏 =
𝑉
𝐴
⇒ 𝐴 =
𝑉
𝜏
=
20𝑥103
35𝑥106
= 5,714𝑥10−4𝑚2
𝐴 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 = 2𝜋𝑟 𝑥 𝑡
t
𝑡 =
𝐴
2𝜋𝑟
=
5,714𝑥10−4
2𝜋(0,02)
= 0,00455 𝑚 = 4,55 𝑚𝑚
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
6. Duas marcas de referência são colocadas exatamente a 254 mm uma da outra, em 
uma barra de alumínio com diâmetro de 12,7 mm, E = 69,6 GPa e tensão limite (L) 
de 110 MPa. Sabendo que a distância entre as marcas de referência é de 254,229 
mm depois que a força é aplicada, determine: 
a) tensão na barra 
b) o coeficiente de segurança (Considerar a tensão determinada na barra é a tensão 
admissível) 
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
a) tensão na barra 
E = 69,6 GPa 𝐿0 = 254,00 mm 𝐿1 =254,229 mm
𝛿 = 𝐿1 − 𝐿0 = 254,229−254,000 = 0,229 mm
𝜖 =
𝛿
𝐿0
=
2,29𝑥10−4
254𝑥10−3
= 9,016𝑥10−4
Utilizando a definição de deformação específica:
𝜎 = 𝐸𝜖 = 9,016𝑥10−4 69,6𝑥109 = 62,8 MPa
Utilizando a Lei de Hooke:
b) o coeficiente de segurança 
𝐶. 𝑆. =
𝜎𝐿
𝜎𝑎𝑑𝑚
=
110 𝑥109
62,8𝑥109
= 1,752
𝜎𝐿= 110 MPa
Calculando o alongamento:
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
7. Um corpo de prova de aço tem um comprimento de referência L0 = 
1250 mm e uma área da seção transversal de 430 mm2. Determinar o 
comprimento da barra se ela for sujeita a uma força de 25 kN. Considerar 
que o material tem uma característica elástica linear 𝜎𝑒𝑙 =
250 𝑀𝑃𝑎 𝑒 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎.
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
𝜎 =
𝑃
𝐴
=
25𝑥103
4,3𝑥10−4
= 58,14 𝑀𝑃𝑎
Como a tensão é menor que a tensão de elasticidade
vale a lei de Hooke.
𝜎 = 𝐸𝜖 𝜖 =
𝜎
𝐸
=
58,14𝑥106
200𝑥109
= 2,907𝑥10−4
Como:
𝛿 = 𝐿 − 𝐿0
𝜖 =
𝛿
𝐿
⇒ 𝛿 = 𝜖L = 2,907𝑥10−4 1250 = 0,35337𝑚𝑚
𝐿 = 𝐿0 + 𝛿 = 1250 + 0,35337 = 1250,353 mm
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
8. O corpo-de-prova de alumínio mostrado na figura abaixo tem diâmetro 
d0 = 25mm e comprimento de referência L0 = 250 mm. Supondo que uma 
força de 165 kN alongue o comprimento de referência em 1,20 mm, 
determinar o módulo de elasticidade. Determinar também quanto o 
diâmetro do corpo-de-prova se contrai. Considerar: 𝜈 = 0,346 𝑒 𝜎𝑒 =
440 𝑀𝑃𝑎
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
𝜈 = 0,346 𝑒 𝜎𝑒 = 440 𝑀𝑃𝑎
L0 = 250 mm
𝛿 = 1,20 mm
d0 = 25mm 
Determinar o módulo de elasticidade (E)
𝜎 =
𝑃
𝐴
=
165𝑥103
𝜋
4 (0,025)
2
= 336,1 𝑀𝑃𝑎
Cálculo da Tensão normal Média:
Deformação Específica:
𝜖 =
𝛿
𝐿
=
0,0012
0,250
= 0,0048
Como a 𝜎 < 𝜎𝑒, vale a Lei de Hooke:
𝐸 =
𝜎
𝜖
=
336,1𝑥106
0,00480
= 70,0 𝐺𝑃𝑎
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
𝜈 = 0,346 𝑒 𝜎𝑒 = 440 𝑀𝑃𝑎
L0 = 250 mm
𝛿 = 1,20 mm
d0 = 25mm 
Quanto o diâmetro do corpo-de-prova se contrai (𝜹d)
Coeficiente de Poisson:
Como 𝜖𝑥= 𝜖= 0,0048 :
Cálculo da contração do diâmetro:
𝜈 = −
𝜖𝑦
𝜖𝑥
⇒ 𝜖𝑦 = −𝜈𝜖𝑥
𝛿𝑑 = 𝜖𝑦𝑑0 = 0,000166 25 = 0,0415 𝑚𝑚
𝜖𝑦 = −𝜈𝜖𝑥 = −0,346 0,0048 = −0,000166
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
9. A barra rígida AB é sustentada por uma haste de aço AC com 20 mm de diâmetro 
e um bloco de alumínio com área de seção transversal de 1.800 mm2. Os pinos de 18 
mm de diâmetro em A e C estão submetidos a cisalhamento simples. Se a tensão de 
ruptura do aço e do alumínio forem e (aço)rup = 680 Mpa e (al)rup = 70 MPa, 
respectivamente, e a tensão falha para cada pino for de rup = 900 MPa, determine a 
maior carga P que pode ser aplicada à barra. Aplique um fator de segurança F.S. = 2. 
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
(aço)rup = 680 Mpa
(al)rup = 70 MPa
rup = 900 MPa
Abloco= 1.800 mm
2
dhaste = 20 mm 
dpino = 18 mm
F.S. = 2 
Cálculo das tenções admissíveis:
𝐶. 𝑆. =
𝜎𝐸
𝜎𝑎𝑑𝑚
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝜎𝑟𝑢𝑝
𝐶. 𝑆.
(aço)adm =
𝜎𝑟𝑢𝑝
𝐶. 𝑆.
=
680
2
= 340 𝑀𝑃𝑎
(al)adm =
𝜎𝑟𝑢𝑝
𝐶. 𝑆.
=
70
2
= 35 𝑀𝑃𝑎𝜏𝑎𝑑𝑚 =
τ𝑟𝑢𝑝
𝐶. 𝑆.
=
900
2
= 450 𝑀𝑃𝑎
𝐶. 𝑆. =
𝜏𝐸
𝜏𝑎𝑑𝑚
𝜏𝑎𝑑𝑚 =
𝜏𝑟𝑢𝑝
𝐶. 𝑆.
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
(aço)rup = 680 Mpa
(al)rup = 70 MPa
rup = 900 MPa
Abloco= 1.800 mm
2
dhaste = 20 mm 
dpino = 18 mm
F.S. = 2 
Aplicando as equações do equilíbrio:
Haste AC:
𝐹𝐴𝐶 = (aço)adm(𝐴𝐴𝐶) = 340𝑥10
6 𝜋 0,02 2 = 106,8 𝑘𝑁
Usando a equação (1):
𝑃 =
𝐹𝐴𝐶(2)
1,25
=
106,8 (2)
1,25
= 171 𝑘𝑁
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
(aço)rup = 680 Mpa
(al)rup = 70 MPa
rup = 900 MPa
Abloco= 1.800 mm
2
dhaste = 20 mm 
dpino = 18 mm
F.S. = 2 
Aplicando a equação do equilíbrio para ponto A e B:
Bloco B:
𝐹𝐵 = (al)adm(𝐴𝐵) = 35𝑥10
6(1,8𝑥10−3) = 63,0 𝑘𝑁
Usando a equação (2):
𝑃 =
𝐹𝐵(2)
0,75
=
63 (2)
0,75
= 168 𝑘𝑁
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
(aço)rup = 680 Mpa
(al)rup = 70 MPa
rup = 900 MPa
Abloco= 1.800 mm
2
dhaste = 20 mm 
dpino = 18 mm
F.S. = 2 
Para o Pino A ou C:
𝑉 = 𝐹𝐴𝐶 = 𝜏𝑎𝑑𝑚(𝐴𝑝𝑖𝑛𝑜) = 450𝑥10
6 𝜋 0,009 2
Usando a equação (1):
𝑃 =
𝐹𝐴𝐶(2)
1,25
=
114,5 (2)
1,25
= 183 𝑘𝑁
𝑉 = 𝐹𝐴𝐶 = 114,5 𝑘𝑁
Comparando a carga P para as três situações:
Quando P atinge seu menor valor (168kN), o pino 
desenvolve a tensão normal admissível no bloco de 
alumínio. Portanto o máximo carregamento é: 
P=168 kN
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
10. Uma barra de 10 mm de diâmetro é feita de liga de alumínio 7075-T6 (E = 72 
GPa;  = 0,33; e = 480 Mpa). Quando a barra é tracionada por uma força P, seu 
diâmetro reduz 0,016 mm. Determinar o valor da carga P.
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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
E = 72 GPa; 
 = 0,33; 
e = 480 Mpa
𝛿𝑑 = - 0,016 mm (- contração)
Determinando a deformação específica do diâmetro
𝑑𝑜 = 10 𝑚𝑚
𝛿𝑑 = 𝜖𝑦𝑑0 ⇒ 𝜖𝑦 =
𝛿𝑑
𝑑0
=
−0,016
10
= −0,0016
Determinando a deformação específica no eixo axial 
usando o coeficiente de Poisson
𝜖𝑥 = −
𝜖𝑦
𝜈
=
− −0,0016
0,33
= 0,004848
30
TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
E = 72 GPa; 
 = 0,33; 
𝜎e = 480 Mpa
𝛿𝑑 = - 0,016 mm (- contração)
Usando a Lei de Hooke.
𝑑𝑜 = 10 𝑚𝑚
𝜎 = 𝐸𝜖𝑥 = 72𝑥10
9 0,004848 = 349,1 𝑀𝑃𝑎
Podemos confirmar que a Lei de Hooke é válida pois o 𝜎 < 𝜎e
Calculando a carga P com a equação da tensão normal média
𝑃 = 𝜎𝐴 = 349,1𝑥106
𝜋
4
0,01 2 = 27418,3 𝑁 = 27,4 𝑘𝑁