aula 9 - 2011-02 - Metricas-01
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aula 9 - 2011-02 - Metricas-01


DisciplinaLogística e Transporte112 materiais1.542 seguidores
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M
ÉT
R
IC
A
S 
 
ES
PA
CI
A
IS
Pr
o
f 
M
a
ri
o
 
A
n
to
n
io
 
P.
 
Bi
te
n
co
u
rt
Definição dos pontos que formam uma cadeia de 
suprimentos:
\u2022Fornecedores
\u2022Produtores
\u2022Armazéns
\u2022Depósitos
\u2022Clientes
Demarcar a posição geográfica
P.
 
A
le
gr
e
B
el
ém
N
at
al
?
2
1
3
4
5
6
Região A
Fabricante
Fornecedor A
Fornecedor B
Fornecedor C
Armazém A
Armazém B
Cliente 3
Cliente 1
Cliente 2
Cliente 4 Cliente 5
\u2022Reduzir Custos
\u2022Minimizar Tempos
\u2022Maximizar Satisfação do 
Cliente etc
ANÁLISE ESPACIAL
8
5
2
9
6 10
1 3
4 7
-Análise de Redes
- Análise Agregada
(Conj infinito de caminhos entre dois pontos)
1 2 4 5
3
6 7
8 9 11
10
Estimativa de distância entre dois pontos
- Análise Agregada
\u2022Distância Euclidiana
\u2022Distância Retangular
Y
(XB,YB)
(XA,YA)
X
Métrica Euclidiana
2122 ])()[( ABABAB yyxxDE \u2212+\u2212=
Y
M B
L N
A
X
O
Métrica Retangular
|||| ABABAB YyxxDR \u2212+\u2212=
ABAB DED \u2265Distância Real:
Estimativa por regressão: D a bDEAB AB= +
\u2022Distância Euclidiana
São Paulo
Estimativa por regressão: D a bDEAB AB= +
Distância Real Distância
Euclidiana
45,4 Km 30 Km
88,5 Km 76 Km
189 Km 135 km
\u2026 \u2026
D a bDEAB AB= +
Estado de São Paulo
Ferrovias: DED 25.18.9 +=
Vias Urbanas: DED .366,181,0 +=
Restrições de sentido, retorno, restrições de vias a 
transportes de carga
Rodovias: 
D DE DE Km= + \u2265239 111 60. . ( )
D DE DE Km= <148 60. ( )
Novaes (1989)
DED .366,181,0 +=
DRD 048,113,1 +=
ABAB DRDE \u2264
ABE DEbD .\u2245
ABR DRbD .\u2245
ER bb <
Vias Urbanas:
\Para estudos preliminares: D=1,30. DE
\u3c1\u3c1\u3c1
\u3c1
1
)( \uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212+\u2212= BABAAB YYXXD
Love (1988):
Brimley & Love (1992):
[ ] ( ) ( )[ ] 2122210 BABABABAAB YYXXbYYXXbbD \u2212+\u2212+\u2212+\u2212+=
Outras Fórmulas:
Ballou (2001):
( ) ( ) ( ) }coscoscos{arccos3959 \uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212\u2022\u2022+\u2022\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
= ABbAbAAB LONGLONGLATLATLATsenLATsenD
Fatores de correção:
1,17 (rodovias)
1,20 (ferrovias)
P.
 
A
le
gr
e
B
el
ém
N
at
al
CD
Po
n
to
 
Ce
n
tr
al
2
1
3
4
5
6
CD
Po
n
to
 
Ce
n
tr
al
Ponto Central
Métrica Euclidiana
Y
Y
Yi Pi
Xi X X
\u2211 \u2212+\u2212=
=
N
1i
2
12
i
2
i )])yy()xx[(pi)xy(fMin
0
x
)y,x(f
=
\u2202
\u2202 0
y
)y,x(f
=
\u2202
\u2202
( ) ( )[ ] 0).(),( 2/122
1
=\u2212+\u2212\u2212\u2211=
\u2202
\u2202 \u2212
=
iiii
N
i
yyxxxxP
x
yxf
( ) ( )[ ] 0).(),( 2/122
1
=\u2212+\u2212\u2212\u2211=
\u2202
\u2202 \u2212
=
iiii
N
i
yyxxyyP
y
yxf
\u2211
\u2211
\u2212+\u2212
\u2212+\u2212
=
2/122
2/122
])()[(
])()[(
ii
i
ii
ii
yyxx
P
yyxx
xP
x
\u2211
\u2211
=
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212+\u2212
\u2212+\u2212
=
n
i
i
n
i
ii
yiyxix
P
yiyxix
yP
y
1
2/122
1
2/122
X
p x D E
p D E
i i i
i
N
i i
i
N=
=
=
\u2211
\u2211
/
/
1
1
\u2211
\u2211
=
=
= N
i
ii
N
i
iii
DEp
DEyp
Y
1
1
/
/
Solução:
DE x x y yi i i= \u2212 + \u2212[( ) ( ) ]2 2
1
2
Solução: método iterativo (Weisfeld)
DE DE1 2= ... DE DEM =
X
p x
p
i i
i
0
=
\u2211
\u2211
Y
p y
p
i i
i
0
=
\u2211
\u2211
( ) ( ) 2/12020
2/12020
1
1
1
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212+\u2212
=
\u2211
\u2212+\u2212
=
\u2211
=
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
ii
ii
ii
yyxx
Pi
N
i
yyxx
xP
N
i
x
( ) ( ) 2/12020
2/12020
1
1
1
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212+\u2212
=
\u2211
\u2212+\u2212
=
\u2211
=
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
ii
i
ii
ii
yyxx
P
N
i
yyxx
yP
N
i
y
Em geral na k-ésima iteração.
X
p x DE
p DE
k
i i i
k
i
N
i i
K
i
N
+ =
=
=
\u2211
\u2211
1 1
1
/
/
( )
( )
Y
p y DE
p DE
k
i i i
k
i
N
i i
k
i
N
+ =
=
=
\u2211
\u2211
1 1
1
/
/
( )
( )
Parar:
( ) ( ) ( ) \u3b5\u2264\u2212+ kkk xxx /1 ( ) ( ) ( ) \u3b5\u2264\u2212+ kkk yyy /1e
P.
 
A
le
gr
e
B
el
ém
N
at
al
CD
Po
n
to
 
Ce
n
tr
al
DE x x y y Di i i= \u2212 + \u2212 +[( ) ( ) ]2 2
1
2 \u2206
Truque:
\u2206 D \u2248 0.05 x unidade
Não vale se ponto central cai sobre um ponto i
X
p x D E
p D E
i i i
i
N
i i
i
N=
=
=
\u2211
\u2211
/
/
1
1
\u2211
\u2211
=
=
= N
i
ii
N
i
iii
DEp
DEyp
Y
1
1
/
/
Quanto ao método de Weisfeld, 
BALLOU [2001] conclui que 
para uma solução bem próxima da 
ótima, as fórmulas para x0 e y0
são suficientes. Demonstra-se que 
o erro de se usar essas fórmulas é
significantemente pequeno para 
os casos de: 
\ufffdO peso de um ou alguns pontos não 
for expressivamente maior do que os 
pontos restantes;
\ufffdHaver um grande número de pontos 
dados;
\ufffdConsiderar o peso, quando 
representado por custos ou receitas 
de transportes, linearmente 
proporcionais à distância.
Ponto x y p
P1 0 0 1
P2 0 10 1
P3 5 0 1
P4 12 6 1
25,4
4
170
===
\u2211
\u2211
i
ii
p
xp
X 00,4
4
160
===
\u2211
\u2211
i
ii
p
yp
Y
BALLOU [2001] estima um erro médio de 1,6% do valor 
ótimo, para 50 pontos e taxas lineares de transporte. No 
nosso exemplo, para somente 4 pontos, caso fosse 
considerada a 1ª aproximação 
)000,4;250,4(* =X
F(X) teria o valor de 25,263. 
Este valor é 2,07% maior que o valor de F(X) no ponto 
ótimo (4,2).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2 3 4 5 6 7 8 9 1010
P2
P1 M3
M1
M2
Fonte: Ballou
Ponto Prod Vol.Tot
m3
Taxa
Transp($/
m3/km
xi yi
P1 A 2.000 0,050 3 8
P2 B 3.000 0,050 8 2
M1 A&B 2.500 0,075 2 5
M2 A&B 1.000 0,075 6 4
M3 A&B 1.500 0,075 8 8
1. Procurando minimizar o custo total de 
transporte. Determine a localização do 
armazém.
1) Pergunta
M
ÉT
R
IC
A
 
R
ET
A
N
G
U
LA
R
PONTO CENTRAL
\u2211
=
\u2212+\u2212=
N
i
iii yyxxpyxf
1
|]|||[),(
Separando: f x y p x x p y yi i i i
i
N
i
N
( , ) | | | |= \u2212 + \u2212
==
\u2211\u2211
11
f x y f x f y( , ) ( ) ( )= +1 2
(MIN)
Minimizar é min. e f x y( , ) f x1( ) f y2 ( )
MÉTRICA RETANGULAR
Ip
a
n
em
a
i 1 2 3
Pi 1 1 1
X(x,y) (10,10) (15,20) (18,9)
181151101)(1 \u2212+\u2212+\u2212= xxxxf
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1 3 5 7 9 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 2 1 2 3 2 5 2 7 2 9
181151101)(1 \u2212+\u2212+\u2212= xxxxf
Como a função-soma dos módulos é uma 
poligonal convexa, pode-se afirmar que ela só
tem um único ponto mínimo
Solução:Método de Fibonacci
Solução para x (igual para y)
Processo Iterativo
Iteração k ; No máximo de iterações: I
Passos
1. Determina XI = min xi
XS = max xi
K = 0
2. K = k+1 Se k > I, pare.
F(x)
S1 S2 X
3. Faz S1 = XI e S2 = XS
Segmento S1 - S2 Dividido em 3 partes pelos pontos R1
e R2
618.0
51
2
=
+
=F
F(x)
G1 G2
S1 R1 R2 S2 X(inverso da seção Áurea)
F(x)
S1 R1 R2 S2 X
G2G1
R1 = (1-F) . (S2 - S1) + S1
R2 = F . (S2 - S1) + S1
4. Calcula G1 = f1 (R1) e G2 = f1 (R2)
Se G1 \u2264\u2264\u2264\u2264 G2 \u2192\u2192\u2192\u2192 S1 \u2264\u2264\u2264\u2264 xMin \u2264\u2264\u2264\u2264 R2
Então (abandona-se segmento R2 - S2)
Faz S2 = R2 e volta para o passo 2
F(x)
G1 G2
S1 R1 R2 S2 X
S2
Se G1 > G2 \u2192\u2192\u2192\u2192 R2 \u2264\u2264\u2264\u2264 xMin \u2264\u2264\u2264\u2264 S2
Então (abandona-se S1 - R1)
Faz S1 = R1 e volta para o passo 2
F(x)
G1 G2
S1 R1 R2 S2 X
S1
S1 + S2
No final xMin = ___________
2
Precisão: \u2208 =
+
\uf8eb
\uf8ed
\uf8ec
\uf8f6
\uf8f8
\uf8f7
2
1 5
k
F(x)
G1 G2
S1 R1 R2 S2 X
F(x)
G1 G2
S1 R1 R2 S2 X
0102030405060
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
9
1
20
1
10
1
)
(
2
\u2212
+
\u2212
+
\u2212
=
y
y
y
y
f
No exemplo anterior considerando o intervalo 
inicial Xs-Xi igual a (18-10) e Ys-Yi igual a (20-9), 
ambos medidos em quilômetros, tem-se, para um 
número de iterações igual a 20, as precisões em 
relação as coordenadas X e Y: (lembrar problema)
cmXiXsx 53)1018.(51
2).(
20
\u2248\u2212\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
=\u2212= \u3b5\u3b5
cmYiYsy 73)920.(51
2).(
20
\u2248\u2212\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
=\u2212= \u3b5\u3b5
Pergunta
Supondo o mesmo exemplo e desejando
uma precisão de 20 cm para ambas as 
coordenadas, determine o número de 
iterações necessárias.
181151101)(1 \u2212+\u2212+\u2212= xxxxf 91201101)(2 \u2212+\u2212+\u2212= yyyyf
\u2208 =
+
\uf8eb
\uf8ed
\uf8ec
\uf8f6
\uf8f8
\uf8f7
2
1 5
k
Cidade Xi Yi Pi (população)
1 82 125 85000
2 173 61 120000
3 298 87 180000
4 255 131 250000
5 270 202 57000
6 278 230 88000
7 221 259 110000
8 182 203 330000
9 118 240 42000
10 120 320