Aula 03 - Estrutura Cristalina nos Sólidos

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Ciência dos 
Materiais
Aula 03
Estrutura 
Cristalina dos 
Sólidos
Professor Eduardo Maeda
eduardo.maeda@portalamericas.com.br
Engenharias 
Estrutura Cristalina dos Sólidos
A análise dos materiais foi possível devido ao uso da difração de Raio – X, de modo a caracterizar a
estrutura cristalina. Dessa forma, foi possível descrever o modo com os átomos se arranjam a nível
atômico.
O Raio-X é uma radiação eletromagnética (onda transversal que se propaga no vácuo) descoberta por
Wilhelm Conrad Röntgen, produzidas pela colisão de elétrons quando energizados.
A técnica de Difração de Raio-X foi desenvolvida pelos Físicos Max von Laue, William Henry Bragg (pai)
e William Laurence Bragg (filho), sendo o primeiro o que sugeriu a estrutura cristalina dos materiais e os
demais, desenvolveram a equação que fundamenta a técnica, denominada Lei de Bragg.
A técnica empregada para a análise da microestrutura 
de materiais cristalinos e a difração de Raio – X
De um modo geral, os materiais sólidos podem ser classificados de acordo com a regularidade com que
os átomos ou íons se organizam uns em relação aos outros, ou seja:
Sólido Cristalino – aquele em que os átomos estão arranjados em uma matriz repetitiva ou
periódica sobre grandes distâncias atômicas. Exemplos: Metais, Cerâmicas e alguns Polímeros.
Vamos focar no estudo de metais com estrutura cristalina. Nesse caso, temos uma grande variedade de
arranjos cristalinos, ou seja, células unitárias. As mais comuns para os metais, são:
i) Estrutura Cúbica Simples (CS) ou Simple Cubic Strucuture (SC);
ii) Estrutura Cúbica de Corpo Centrado (CCC) ou Body-Centered Cubic (BCC);
iii) Estrutura Cúbica de Face Centrada (CFC) ou Face-Centered Cubic (FCC);
iv) Estrutura Hexagonal Compacta (HC) ou Hexagonal Close-Packed (HCP).
Dessas estruturas, iremos estudar as estruturas cúbica, denominando a estrutura de repetição de célula
unitária. Nesse sentido, o volume de uma célula unitária será o mesmo de um cubo, ou seja:
𝑽𝑪 = 𝒂
𝟑
Onde: 𝑎 é a aresta do cubo e 𝑉𝐶 é o volume da célula unitária.
Também, iremos considerar os átomos como esferas rígidas e indivisíveis, segundo o modelo de Dalton,
cujo volume é:
𝑽 =
𝟒
𝟑
𝝅𝑹𝟑
Entretanto, em uma célula unitária há mais de um átomo, sendo n, o número de coordenação, a
quantidade de átomos na célula cristalina. Portanto o volume total do átomos na célula cristalina é:
𝑽𝒂 = 𝒏. 𝑽
Nesse sentido, definimos como Fator de Empacotamento Atômico (FEA), o grau de empacotamento os
átomos de um sólido cristalino em uma célula unitária, ou seja:
𝑭𝑬𝑨 =
𝑽𝒂
𝑽𝑪
Onde: 𝑽𝒂 é o volume dos átomos contidos na célula unitária, variando de acordo com o tipo de arranjo
cristalino e, 𝑽𝑪 é o volume da célula cristalina.
Fornece o percentual da célula
unitária ocupada por átomos
1 – Cúbica de Face Centrada (CFC)
É um arranjo cristalino contendo 4 átomos na célula cristalina, ou seja, n = 4, presente no ferro – γ (fase
austenítica).
2 – Cúbica de Corpo Centrado (CCC)
É uma célula que contém 2 átomos, ou seja, n =2, presente no Ferro – α (Fase ferrítica), cuja estrutura
é mostrada a seguir:
Também: 
𝒂 = 𝟐𝑹 𝟐
Onde R é o 
raio atômico.
Também:
𝒂 =
𝟒𝑹
𝟑
Onde R é o raio
atômico.
𝑎
𝑎
𝑎 Digite a equação aqui.
𝑽𝒄 = 𝒂
𝟑
1
8
𝑑𝑒 á𝑡𝑜𝑚𝑜
𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒
4
8
=
1
2
á𝑡𝑜𝑚𝑜
1
2 3
4
Essa estrutura se repete
na parte inferior da célula
cristalina. Portanto,
através de oitavos de
átomo, temos:
𝑝 =
1
2
+
1
2
= 1
Já nas faces do material, há ½
átomo em cada face e, sabe-se
que um cubo, há 6 faces.
Portanto, temos:
𝑞 = 6.
1
2
= 3 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
Logo, temos a quantidade de átomos 
na célula cristalina CFC, ou seja:
𝑛 = 𝑝 + 𝑞 = 1 + 3
𝑛 = 4
𝑎
𝑎𝑑
𝑑2 = 𝑎2 + 𝑎2 ⟹ 𝑑 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 = 4𝑅, 𝑙𝑜𝑔𝑜:
(4𝑅)2= 𝑎2 + 𝑎2 ⟹ 2𝑎2 = 16𝑅2 ⟹ 𝑎2 =
16
2
𝑅2
𝑎 = 8𝑅2 = 4.2. 𝑅2
𝒂 = 𝟐 𝟐𝑹
𝑅
𝑅
𝑅
𝑅
Volume da célula cristalina do 
Ferro na fase austenita
𝑉𝑐(𝐹𝑒−𝛾) = 𝑎
3 = (2 2𝑅)3
𝑉𝑐(𝐹𝑒−𝛾) = 8 2
3𝑅3
𝑉𝑐(𝐹𝑒−𝛾) = 8 4.2. 𝑅
3
𝑽𝒄(𝑭𝒆−𝜸) = 𝟏𝟔 𝟐𝑹
𝟑
Essa é a expressão para o calculo do
volume da célula cristalina CFC em função
do raio atômico.
𝒏 ≡ 𝒏º 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂çã𝒐
𝐹𝑒(𝛾) ≡Ferro na fase austenita
1
8
𝑑𝑒 á𝑡𝑜𝑚𝑜
𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒
4
8
=
1
2
á𝑡𝑜𝑚𝑜
1
2 3
4
Essa estrutura se repete na
parte inferior da célula
cristalina. Portanto, através
de oitavos de átomo, temos:
𝑝 =
1
2
+
1
2
= 1
No centro do cubo há um átomo
inteiro
𝑞 = 1 á𝑡𝑜𝑚𝑜
Logo, temos a quantidade de
átomos na célula cristalina CCC,
ou seja:
𝑛 = 𝑝 + 𝑞 = 1 + 1
𝑛 = 2
Para se calcular a aresta de um estrutura
CCC, deve-se considerar a diagonal do
cubo é:
𝑑2 = 𝑎2 + (𝑎 2)2= 𝑎2 + 2𝑎2
𝑑2 = 3𝑎2
De uma extremidade à outra da estrutura
CCC, há uma diagonal correspondente à
4.R, logo:
𝑑2 = 3𝑎2 ⟹ 4𝑅 2 = 3𝑎2
𝑎 =
16𝑅2
3
⟹ 𝒂 =
𝟒𝑹
𝟑
𝑑
𝑎 2
𝑎
Volume da célula cristalina do 
Ferro na fase austenita
𝑉𝑐(𝐹𝑒−𝛼) = 𝑎
3 =
4𝑅
3
3
𝑽𝒄(𝑭𝒆−𝜶) =
𝟔𝟒
𝟑 𝟑
𝑹𝟑
Essa é a expressão para o calculo do
volume da célula cristalina CCC em
função do raio atômico.
Exemplo 01: Ligas de aço contém basicamente Ferro que, dependendo da temperatura na qual foi feita a
forja, podem apresentar um tipo de estrutura cristalina. Para uma liga que apresenta totalmente uma
estrutura austenítica (Ferro na fase 𝛾, estrutura CFC), calcule o Fator de Empacotamento Atônico.
Exemplo 02: O Ferro fundido cinzento é um material muito usado na produção de válvulas, mancais e
conexões. Nesse material predomina o ferro na fase ferrita, entretanto, há também a fase perlita, sendo
sua composição, de um modo geral, composto por Fe, C, P e Si. Nessas condições, calcule o FEA para a
estrutura ferrítica do ferro.
3 – Hexagonal Compacta (HC)
Na estrutura mostrada na figura a seguir, as
faces superior e inferior consistem de
hexágonos regulares e mais 6 retângulos nas
lateral. A célula unitária é composta por 6
átomos, ou seja, n = 6. Ainda, a aresta 𝑎 e 𝑐
são denominadas distâncias curta e longa,
respectivamente, sendo:
𝒄
𝒂
= 𝟏, 𝟔𝟑𝟑
A estrutura HC apresenta o mesmo FEA da estrutura CFC, ou seja, 0,74.
𝑎 = 2𝑅
Hexagonal Compacta temos a 
relação entre as arestas :
𝑎 = 𝑏 ≠ 𝑏 𝑒
𝑐
𝑎
= 1,633
𝑎
𝑏
𝐴𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =
𝑎2 3
4
Logo, o volume é:
𝑉𝐶 = 6 ×
𝑎2 3
4
. 𝑐 =
6. 𝑎2 3
4
. 1,633𝑎
𝑉𝐶 =
6.1,633. 3𝑎3
4
Como a aresta 𝑎 = 2𝑅, temos:
𝑉𝐶 =
9,798. 3(2𝑅)3
4
𝑉𝐶 =
78,384. 3. 𝑅3
4
𝑽𝑪 = 𝟏𝟗, 𝟓𝟗𝟔. 𝟑. 𝑹
𝟑
Finalmente, temos, para n = 6 (quantidade
de átomos na célula cristalina):
𝐹𝐸𝐴 =
𝑛. 𝑉𝑎
𝑉𝐶
=
6.
4
3 𝜋𝑅
3
19,596. 3. 𝑅3
𝐹𝐸𝐴 =
8. 𝜋
19,596 3
𝑭𝑬𝑨 = 𝟎, 𝟕𝟒
O volume de um célula HC é:
𝑉𝐶 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 . ℎ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
Observe que a base corresponde a
um hexágono regular, ou seja,
formado por 6 triângulos equiláteros:
Cada vértice do hexágono é formada por
1/6 do átomo de raio R e, como cada aresta
é formada pela junção de dois vértice, logo,
a aresta 𝑎 = 2𝑅.
Observando o paralelepípedo,
decomposição da célula unitária,
observa-se, que é formada por:
𝑝 = 4 ×
1
8
+ 1 + 4 ×
1
8
= 2
E como o paralelepípedo se
repete 3 vezes, temos:
𝑛 = 3. 𝑝
𝒏 = 𝟔
Para a estrutura HC, o 𝐹𝐸𝐴 = 0,74, significa que
74% da estrutura cristalina é ocupada por átomos.
Exemplo 01: Ligas de aço contém basicamente Ferro que, dependendo da temperatura na qual foi feita a forja,
podem apresentar um tipo de estrutura cristalina. Para uma liga que apresenta totalmente uma estrutura austenítica
(Ferro na fase 𝛾, estrutura CFC), calcule o Fator de Empacotamento Atônico.
𝑽𝒄 = 𝟏𝟔 𝟐𝑹
𝟑
Para um estrutura CFC, o volume da célula cristalina é: Como os átomos serão considerados como esferas rígidas
(modelo atômico de Dalton), a expressão para o volume é:
𝑽 =
𝟒
𝟑
𝝅𝑹𝟑
𝐹𝐸𝐴 =
𝑉𝑎
𝑉𝐶
=
𝑛. 𝑉
𝑉𝑐
=
4.
4
3 𝜋𝑅
3
16 2𝑅3
=
16
3 𝜋
16 2
=
16
3
𝜋.
1
16 2
=
𝜋
3 2
𝐹𝐸𝐴 = 0,74
Paraa estrutura CFC, temos n = 4, quantidade de átomos na célula cristalina. Dessa forma:
Para a estrutura CFC, o 𝐹𝐸𝐴 = 0,74, significa que 74% da estrutura cristalina está ocupada por átomos de Fe.
Exemplo 02: O Ferro fundido cinzento é um material muito usado na produção de válvulas, mancais e
conexões. Nesse material predomina o ferro na fase ferrita (fase 𝛼, estrutura CCC), entretanto, há
também a fase perlita, sendo sua composição, de um modo geral, composto por Fe, C, P e Si. Nessas
condições, calcule o FEA para a estrutura ferrítica do ferro.
𝑽𝒄 =
𝟔𝟒
𝟑 𝟑
𝑹𝟑
Para um estrutura CCC, o volume da célula cristalina é: Como os átomos serão considerados como esferas rígidas
(modelo atômico de Dalton), a expressão para o volume é:
𝑽 =
𝟒
𝟑
𝝅𝑹𝟑
𝐹𝐸𝐴 =
𝑉𝑎
𝑉𝐶
=
𝑛. 𝑉
𝑉𝑐
=
2.
4
3𝜋𝑅
3
64
3 3
𝑅3
=
8
3𝜋
64
3 3
=
8
3
𝜋.
3 3
64
=
3 3𝜋
24
= 0,68
𝐹𝐸𝐴 = 0,68
Para a estrutura CCC, temos n = 2, quantidade de átomos na célula cristalina. Dessa forma:
Para a estrutura CCC, o 𝐹𝐸𝐴 = 0,68, significa que 68% da estrutura cristalina está ocupada por átomos de Fe na 
fase ferrítica.
Densidade do Material
Na análise da estrutura cristalina dos materiais sólidos cristalinos, podemos calcular a sua densidade
teórica, através da equação:
𝝆 =
𝒎
𝑽
=
𝒏𝑨
𝑽𝑪. 𝑵𝑨
(𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒖𝒎 𝒄é𝒍𝒖𝒍𝒂 𝒄𝒓𝒊𝒔𝒕𝒂𝒍𝒊𝒏𝒂)
Onde: 𝜌 ≡densidade teórica do material sólido; 𝑛 ≡número de átomos associado a cada célula unitária;
𝐴 ≡peso atômico; 𝑉𝐶 ≡volume da célula unitária; 𝑁𝐴 ≡número de Avogadro = 6,02.10
23 átomos/mol.
Exemplo 03: Sendo o Raio atômico do Cr (Cromo) igual à 0,1249nm, estrutura cristalina CCC (cúbica de
corpo centrado), calcule a densidade teórica do Cromo. Dado: ACr = 51,99.10
-3kg/mol e NA = 6,02.10
23
átomos/mol. Lembre-se que a Unidade oficial para densidade ou massa específica é kg/m3.
Exemplo 04: O Nióbio é uma metal muito usado para melhorar as propriedades de ligas de aço, sendo
seu raio atômico igual a 0,1430nm e densidade de 8,57g/cm3, nessas condições, determine a densidade
teórica desse metal, sabendo que sua estrutura cristalina é o CCC. Dado: ANb = 92,9g/mol.
Exemplo 05: O titânio apresenta uma estrutura cristalina HC e densidade 4,51g/cm3, nessas condições,
determine:
a) Qual é o volume dos átomos em metros cúbicos?
b) Qual é o volume da célula cristalina?
c) Qual é a densidade teórica do Titânio? Dados: ATi = 47,9g/mol.
Exemplo 03: Sendo o Raio atômico do Cr (Cromo) igual à 0,1249nm, estrutura cristalina CCC (cúbica de
corpo centrado), calcule a densidade teórica do Cromo. Dado: ACr = 51,99.10
-3kg/mol e NA = 6,02.10
23
átomos/mol (nº de Avogadro). Lembre-se que a Unidade oficial para densidade ou massa específica é
kg/m3.
RCr = 0,1249nm = 0,1249.10
-9m
𝜌 =
𝑛𝐴
𝑉𝐶 . 𝑁𝐴
=
2.51,99. 10−3
64
3 3
. (0,1249. 10−9)3. 6,02. 1023
𝜌 =
103,98. 10−3
64
3 3
. 1,948. 10−3. 10−27. 6,02. 1023
=
103,98
12,32.1,948.6,02. 10−4
𝜌 =
103,98. 104
148,76
= 0,6989. 104
𝝆 = 𝟔, 𝟗𝟗. 𝟏𝟎𝟑
𝒌𝒈
𝒎𝟑
Para um estrutura cristalina CCC, n = 2.
10−27. 1023 = 10−27+23 = 10−4
A densidade da literatura para o Cr, que considera vários isótopos é:
𝜌𝐶𝑟 = 7,10.10
3 𝑘𝑔/𝑚3
(0,1249. 10−9)3= 0,12493. (10−9)3= 1,948. 10−3. 10−27
𝒏 ≡ 𝒏𝒂𝒏𝒐 = 𝟏𝟎−𝟗
𝑽𝒄 =
𝟔𝟒
𝟑 𝟑
𝑹𝟑
𝑔/𝑐𝑚3 𝑘𝑔/𝑚3
× 10−3
÷ 10−3
𝜌𝑁𝑏 = 8,57
𝑔
𝑐𝑚3
= 8,57. 10−3
𝑘𝑔
𝑚3 𝜌 =
𝑛𝐴
𝑉𝐶 . 𝑁𝐴
=
2.92,9. 10−3
64
3 3
(0143. 10−9)3. 6,02. 1023
Para o Nióbio:
n = 2, temos estrutura CCC;
Exemplo 04: O Nióbio é uma metal muito usado para melhorar as propriedades de ligas de aço, sendo
seu raio atômico igual a 0,1430nm e densidade de 8,57g/cm3, nessas condições, determine a densidade
teórica desse metal, sabendo que sua estrutura cristalina é o CCC. Dado: ANb = 92,9g/mol.
𝐴𝑁𝑏 = 92,9
𝑔
𝑚𝑜𝑙
= 92,9. 10−3
𝑘𝑔
𝑚𝑜𝑙
𝑽𝒄 =
𝟔𝟒
𝟑 𝟑
𝑹𝟑
𝜌 =
185,8. 10−3
12,32.2,92421. 10−3. 10−27. 6,02. 1023
=
185,8
216,88.10−4
𝜌 =
185,8. 104
216,88
= 0,857. 104
𝝆 = 𝟖, 𝟓𝟕. 𝟏𝟎𝟑 𝒌𝒈/𝒎𝟑
∴ 𝝆 = 𝟖, 𝟓𝟕 𝒈/𝒄𝒎𝟑
Exemplo 05: O titânio apresenta uma estrutura cristalina HC e densidade 4,51g/cm3, nessas condições,
determine:
a) Qual é o volume dos átomos em metros cúbicos?
𝑹𝑻𝒊 = 𝟎, 𝟏𝟒𝟓𝒏𝒎 = 𝟎, 𝟏𝟒𝟒𝟓. 𝟏𝟎
−𝟗𝒎
c) Qual é a densidade teórica do Titânio? Dados: ATi = 47,9g/mol = 47,9.10
-3kg/mol.
b) Qual é o volume da célula cristalina?
𝑹𝑻𝒊 = 𝟎, 𝟏𝟒𝟓𝒏𝒎 = 𝟎, 𝟏𝟒𝟒𝟓. 𝟏𝟎
−𝟗𝒎
𝑽𝑪 = 𝟏𝟗, 𝟓𝟗𝟔. 𝟑. 𝑹
𝟑 = 19,596. 3. (0,1445. 10−9)3= 19,596. 3. (0,1445)3. 10−27
𝑽𝑪 = 0,1024. 10
−27𝑚3 ≅ 102,4.10−3 . 10−27
𝑽𝑪 = 𝟏𝟎𝟐, 𝟒. 𝟏𝟎
−𝟑𝟎𝒎𝟑
𝑉𝑎 = 𝑛. 𝑉 = 6.
4
3
𝜋𝑟3 = 8𝜋. (0,1445. 10−9)3= 8𝜋. 0,14453. 10−27𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒖𝒎 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒖𝒕𝒖𝒓𝒂 𝑯𝑪,𝒏 = 𝟔
𝑽𝒂 = 𝟐, 𝟓𝟕. 𝟏𝟎
−𝟐𝟕𝒎𝟑
𝜌 =
𝑛𝐴
𝑉𝐶 . 𝑁𝐴
=
6.47,9. 10−3
19,596. 3(01445. 10−9)3. 6,02. 1023
=
287,4. 10−3
102,4. 10−30. 6,02. 1023
=
287,4. 10−3
616,45. 10−7
=
287,4
616,45
× 10−3. 107
𝜌 = 0,4662. 104 ≅ 𝟒, 𝟔𝟔. 𝟏𝟎𝟑
𝒌𝒈
𝒎𝟑
= 𝟒, 𝟔𝟔
𝒈
𝒄𝒎𝟑
Sistemas Cristalinos
Para materiais com estrutura cristalina, a célula unitária apresenta variedades
em torno do arranjo do átomo. A figura a seguir, mostra uma estrutura cúbica
em coordenadas cartesianas.
Os parâmetros 𝑎, 𝑏, 𝑐 , ou seja, as arestas do sólido e os
ângulos diretores 𝛼, 𝛽 𝑒 𝛾 , cuja relação determina diversas
estruturas cristalina, ou seja:
Materiais Policristalinos
A maioria dos sólidos cristalinos é composta diversos agrupamentos cristalinos, denominado grãos.
Materiais com vários grãos são denominados como sólidos policristalinos. Além disso, há várias
incompatibilidades atômicas nas regiões entre dois grãos, sendo está região, denominada contorno de
grão.
Modelo mostrando os grãos formados pelo polimorfismo, onde cada grão é representado por uma forma
na estrutura.
A figura acima mostra a formação de grãos irregulares na estrutura. A irregularidade no grãos
reflete nas propriedades mecânicas dos materiais cristalinos e, para melhorar a disparidade
entre os contornos de grãos, há tratamentos que visam reduzir os contornos dos grãos.
Os traços pretos são
denominados
contornos de grão.
A figura a seguir, representa diversos estágios na solidificação
de um material policristalino.
A figura a seguir, representa diversos estágios na solidificação de um
material policristalino.
A figura representa o crescimento dos policristais, mostrando o
encontro dos grãosAnisotropia
Denomina-se anisotropia a presença de vários planos cristalográficos em um sólido
cristalino, ou seja, apresentando várias orientações na célula cristalina, como mostrado
na figura a seguir.
A figura representa as direções [100], [110] e [111] através de uma célula cristalina,
determinada pela técnica de MEV (Microscopia Eletrônica de Varredura – WDS),
onde o WDS (wavelength dispersive spectroscopy) significa espectroscopia de
dispersão de comprimento de onda.
Pesquise sobre a técnica MEV – Microscopia Eletrônica de Varredura
e como ela é importante para a análise da microestrutura do
materiais. A técnica WDS e EDS são realizada a partir do MEV.
A tabela representa a variação do
módulo de elasticidade de um
material em função da orientação do
plano cristalográfico.
Sólidos Não-Cristalinos
São sólidos que que não apresentam arranjos cristalinos, ou seja, não há ordenação à longa distância, denominados
amorfos. Materiais amorfos são líquidos super resfriados, ou seja, aqueles que apresentam uma viscosidade
extremamente alta, como os vidros, cerâmicas de dióxido de silício (SiO2).
Estrutura Cristalina, ou seja, com
ordenação entre as células
unitárias. Representa uma
cerâmica “cristal”.
Estrutura sem ordenação, ou
seja, sem forma, sendo,
portanto, classificada como
estrutura amorfa. Representa a
estrutura do vidro.
A obtenção na indústria do
“cristal” ou vidro (amorfo) é de
acordo com o tratamento
térmico que o material recebe,
pois ambos possuem a mesma
composição química (SiO2).
Exemplo 06: O magnésiotem uma estrutura cristalina HCP, uma razão de a para c de 1,624 e uma
densidade de 1,74 g/cm3. Nessas condições, calcule o raio atômico para Mg. Dado: AMg = 24,3g/mol e N =
6,02.1023 átomos/mol.
Exemplo 07: Calcule o raio de um átomo de tântalo ou tantálio (Ta), que apresenta uma estrutura de
cristal de CCC, densidade de 16,6 g/cm3 e um peso atômico de 180,9g/mol.
Exemplo 08: Um metal hipotético apresenta estrutura cúbica simples,
conforme mostrado na figura a seguir. Se a massa atômica desse
metal é 74,5 g/mol e o raio atômico é 0,145 nm. Nessas condições,
calcule:
Estrutura Cúbica Simples
a) O fator de empacotamento atômico;
b) A densidade.
Exemplo 09: O molibdênio tem uma estrutura cristalina de CCC, um
raio atômico de 0.1363 nm e massa atômica 95,94 g/mol. Calcule e
compare sua densidade teórica com o experimental, ou seja,
10,22g/cm3.
Exemplo 10: Calcule o raio de um átomo de paládio (Pd), sabendo que o Pd tem uma estrutura cristalina
CFC, densidade de 12,0 g/cm3 e um peso atômico 106,4 g/mol.
Exemplo 06: O magnésio tem uma estrutura cristalina HCP, uma razão de a para c de 1,624 e uma
densidade de 1,74 g/cm3. Nessas condições, calcule o raio atômico para Mg. Dado: AMg = 24,3g/mol e N =
6,02.1023 átomos/mol.
𝜌 =
𝑛𝐴
𝑉𝐶 . 𝑁𝐴
𝑉𝐶 = 19,596. 3. 𝑅
3
𝜌𝑀𝑔 = 1,74. 10
3
𝑘𝑔
𝑚3
𝐴𝑀𝑔 = 24,3. 10
−3
𝑘𝑔
𝑚𝑜𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐻𝐶, 𝑛 = 6 𝜌 =
𝑛𝐴
19,596. 3. 𝑅3𝑁𝐴
⟺ 𝑅3 =
𝑛. 𝐴
19,596. 3. 𝜌. 𝑁𝐴
⟹ 𝑅 =
3 𝑛. 𝐴
19,596. 3. 1,74. 10−3𝑁𝐴
𝑅 =
3 6.24,3. 10−3
19,596. 3. 1,74. 103. 6,02.1023
=
3 145,8. 10−3
355,53. 1023+3
=
3 145,8. 10−3. 10−26
355,53
𝑅 =
3 145,8. 10−29
355,53
= 1,60. 10−10𝑚
𝑅 = 0,160. 10−9𝑚
𝑹 = 𝟎, 𝟏𝟔𝟎𝒏𝒎
Há uma prefixo muito usado nas ciências biológicas, denominada angstrom (Å), ou seja, Å = 10-10m. Dessa 
forma, o raio do magnésio é R = 1,60Å
Exemplo 08: Um metal hipotético apresenta estrutura cúbica simples,
conforme mostrado na figura a seguir. Se a massa atômica desse metal é
74,5 g/mol e o raio atômico é 0,145 nm. Nessas condições, calcule:
a) O fator de empacotamento atômico;
b) A densidade.
𝑎
𝑎
𝑅
𝑅
𝒂 = 𝟐𝑹
𝑉𝑐 = 𝑎
3 = (2𝑅)3
𝑽𝒄 = 𝟖𝑹
𝟑
1
2 3
4
𝑛 ≡ 𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎çã𝑜 𝐶𝑆 =
4
8
+
4
8
= 1
𝑛 = 1 á𝑡𝑜𝑚𝑜
𝐹𝐸𝐴 =
𝑉𝑎
𝑉𝐶
=
𝑛. 𝑉
𝑉𝐶
=
1.
4
3 𝜋𝑅
3
8𝑅3
=
4
3𝜋
8
=
4
3
𝜋.
1
8
𝐹𝐸𝐴 =
𝜋
6
= 0,523
𝑭𝑬𝑨 = 𝟓𝟐, 𝟑%
𝜌 =
𝑛𝐴
𝑉𝐶 . 𝑁𝐴
=
1.74,5. 10−3
8. (0,145. 10−9)3. 6,02. 1023
= 5402
𝑘𝑔
𝑚3
𝝆 = 𝟓, 𝟒𝟎. 𝟏𝟎𝟑
𝒌𝒈
𝒎𝟑
= 𝟓, 𝟒𝟎 𝒈/𝒄𝒎𝟑