Integração: Indefinida e Definida

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Integral Indefinida 
Não possui intervalos de integração, não 
representa a área sob uma curva. resultará na 
primitiva da função. 
 ∫ 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 = 𝑔ሺ𝑥ሻ + 𝑐 
 
 
1. ∫ 𝑐 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 = 𝑐 ∫ 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 
 
2. ∫ 𝑓ሺ𝑥ሻ ± 𝑔ሺ𝑥ሻ = ∫ 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔ሺ𝑥ሻ 
 
 
Integral Definida 
Utilizadas para cálculo de áreas 
 
 
1. ∫ 𝑐𝑑𝑥 = 𝑐 ሺ𝑏 − 𝑎ሻ
𝑏
𝑎
 
 
2. ∫ 𝑐 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 = 𝑐 ∫ 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 
 
3. ∫ 𝑓ሺ𝑥ሻ ± 𝑔ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 = ∫ 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 ±
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 ∫ 𝑔ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
4. ∫ 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 = ∫ 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 + ∫ 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥
𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
 
 
 
 
Se f(x) contínua em [a,b] 
න 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 = 𝐹ሺ𝑏ሻ − 𝐹ሺ𝑎ሻ
𝑏
𝑎
 
Onde F(x) é qualquer antiderivada de f(x) 
 
Função no limite de integração 
 ℎሺ𝑥ሻ = ∫ 𝑡2 𝑑𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑥
1
 
g(x) = ∫ 𝑡2𝑑𝑡
𝑥
1
 
h(x) = g(sen(x)) 
h’(x) = g’(sen(x)) . (sen(x)) 
g’(x) = x2 
h’(x) = sen x2 . cosx 
 
Duas Funções no limite de integração 
𝑓ሺ𝑥ሻ = න 𝑡2𝑑𝑡
2𝑥
𝑒𝑥
 
𝑓ሺ𝑥ሻ = න 𝑡2𝑑𝑡 + න 𝑡2𝑑𝑡
2𝑥
𝑐
𝑐
𝑒𝑥
 
− න 𝑡2𝑑𝑡 + න 𝑡2𝑑𝑡
2𝑥
𝑐
𝑒𝑥
𝑐
 
f(x) = - (ex)2 . ex + (2x)2 . 2 
f’(x) = -e3x + 8x2 
 
න 𝑥2 − 1𝑑𝑥
2
0
 
F(x) = x3/3 – x 
 
 
 
• Substituir por uma variável 
• Derivar a variável 
∫ 𝑓′൫𝑔ሺ𝑥ሻ൯. 𝑔′ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 = 𝐹൫𝑔ሺ𝑥ሻ൯ + 𝑐 
∫ 𝑓′ሺ𝑢ሻ. 𝑑𝑢 = 𝑓ሺ𝑢ሻ + 𝑐 
Teorema 
Suponha que f é contínua em [-a,a] 
Se f for par [f(-x) = f(x)], então: 
Propriedades Integrais Indefinidas 
Propriedades Integrais Definidas 
Teorema Fundamental do Cálculo 
Regra da Substituição 
න 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 = 2 න 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥
𝑎
0
𝑎
−𝑎
 
Se f for ímpar [f(-x) = -f(x)] 
න 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 = 0
𝑎
−𝑎
 
 
 
• relacionada a regra do produto para 
derivada 
∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑣 
 
 
 
 
1. ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑒 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝑑𝑥 
 
2. ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑚𝑥 . 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝑑𝑥 
 
3. ∫ 𝑡𝑔𝑛𝑢 𝑑𝑢 𝑒 ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛𝑢 𝑑𝑢 
 
4. ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑢 𝑑𝑢 𝑒 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑛𝑢 𝑑𝑢 
 
5. ∫ 𝑡𝑔𝑚𝑢 . 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑢 𝑑𝑢 𝑜𝑢 ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑚𝑢 . 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑛𝑢 𝑑𝑢 
 
 
 
 
 
 
Integração por partes 
Integral Trigonométrica 
Substituição Trigonométrica 
FreeText
Autoria: Beatriz Oliveira 
Referências: 
Integrais. Só Matemática. Disponível em: <https://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais.php>.
Khan Academy. Khanacademy.org. Disponível em: <https://pt.khanacademy.org/math/integral-calculus>. 
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