Unidade 3

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ANÁLISE COMBINATÓRIA ANÁLISE COMBINATÓRIA 
E PROBABILIDADEE PROBABILIDADE
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
Autor: Ma. Luciane Aparecida Marostegan
Revisora : E la ine Stur ion
I N I C I A R
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introdução
Introdução
A teoria das probabilidades teve início com os jogos de cartas, roletas etc. Esta
permite que se calcule a chance de ocorrência de um evento em um determinado
experimento aleatório. No cotidiano, usamos o cálculo de probabilidade de uma
forma intuitiva. A probabilidade é a chance de determinado evento acontecer, a
qual é associada a um determinado número. Nesta unidade, apresentaremos, de
forma detalhada, o conteúdo da teoria das probabilidades, de forma que o(a)
aluno(a) conheça uma grande parte das aplicações desse conceito. Utilizaremos
um número grande de exemplos para ilustrar a teoria, proporcionando, assim, um
melhor entendimento do conteúdo.
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Neste tópico, estudaremos a teoria sobre probabilidade, que trata,
resumidamente, das chances de ocorrência de um determinado evento aleatório.
Vamos iniciar o tópico entendendo alguns exemplos.
Considere os seguintes problemas:
qual a chance de acertar as 6 dezenas da Mega Sena fazendo a aposta
mínima?
no lançamento simultâneo de 2 dados, qual a probabilidade de saírem
duas faces iguais?
no lançamento de duas moedas simultâneas, qual a probabilidade de
saírem faces diferentes?
ao escolher uma carta do baralho, qual a probabilidade de sair uma
dama de paus?
Experimento Aleatório
No lançamento de um dado, não é possível saber o seu resultado. Este
experimento pode apresentar 6 possibilidades distintas, que são cada uma das
faces do dado (1, 2, 3, 4, 5 e 6).
Probabilidade de Probabilidade de 
um Eventoum Evento
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Quando escolhemos, ao acaso, uma carta de um baralho, não é possível saber
qual carta foi escolhida. Este experimento pode apresentar 52 possibilidades
distintas, que são cada uma das cartas do baralho.
Experimentos assim são imprevisíveis e recebem o nome de experimentos
aleatórios.
Espaço Amostral
Segundo Morgado (2006, p. 120), consideremos um experimento aleatório
qualquer. O conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento é
chamado de Espaço Amostral, sendo indicado pela letra grega Ω(ômega).
Indicaremos o número de elementos de um espaço amostral por n(Ω).
Exemplo: ao lançarmos um dado, a face voltada para cima poderá mostrar um
número qualquer de 1 a 6, assim:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(Ω) = 6
Cada um dos elementos de Ω é um ponto amostral.
Evento
Para arrecadar fundos para uma gincana na escola, os(as) alunos(as) �zeram uma
rifa de uma caixa de som com 50 números.
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O resultado do sorteio da rifa é um experimento aleatório, cujo espaço amostral é
dado por Ω = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , 50}.
Para ajudá-los, o Diretor da escola comprou todos os números múltiplos de 5
disponíveis. O conjunto de resultados que interessam ao Diretor é  
E = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}. Esse conjunto representa os resultados
favoráveis ao Diretor. E é um subconjunto de Ω e vamos denominá-lo evento de Ω
.
Portanto, a probabilidade desse evento ocorrer é dada por:
P(E) =
No de eventos favoráveis
N ∘ de eventos possíveis
=
10
50
= 0, 2 ou 20
Se você decidisse comprar apenas os números com dois algarismos iguais, estaria
construindo outro evento de Ω, a saber: E = {11, 22, 33, 44}. Logo, a probabilidade
desse outro evento ocorrer é dada por:
P(E) =
No de eventos favoráveis
N ∘ de eventos possíveis
=
4
50
= 0, 08 ou 8
Observações:
1ª) quando E = Ω, o evento é dito evento certo, isto é, tem 100% de chance de
ocorrer.
2ª) quando E = ⊘ , o evento recebe o nome de evento impossível, isto é, 0% de
chance de ocorrer.
Consideremos um experimento aleatório, o qual tem o seguinte espaço amostral 
Ω = a1, a2, . . . , an , e seja E um evento qualquer de Ω, isto é, E ⊂ Ω.
De�nimos a probabilidade do evento E, que denotamos por P(E), da seguinte
forma:
P(E) =
n(E)
n(Ω)
=
no de elementos de E
no de elementos de Ω
= 
no de resultados favoráveis ao evento
no de resultados possíveis
Exemplo 1: ao escolher uma carta do baralho, qual a probabilidade de sair uma
dama de paus?
{ }
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Ω = 52 cartas do baralho = n(Ω) = 52
E = dama de paus = n(E) = 1
P(E) =
n(E)
n(Ω)
=
no de elementos de E
no de elementos de Ω
=
1
52
Probabilidade em Espaços Amostrais
Equiprováveis
Consideremos um espaço amostral Ω, formado por k pontos amostrais:
Ω = a1, a2, . . . , ak
Vamos associar, a cada ponto amostral, um número real, 
P ai − probabilidade do evento ai, tal que:
i. 0 ≤ Pi ≤ 1.
ii. Σki= 1Pi = 1, isto é, P1 + P2 + . . . + Pk = 1.
Quando os pontos amostrais têm a mesma probabilidade de ocorrer, chamamos
estes de Espaços Amostrais Equiprováveis.
P(E) =
No de elementos de E
No de elementos de Ω
=
n(E)
n(Ω)
{ }
( )
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P(E) =
n(E)
n(Ω)
=
número de casos favoráveis
número de casos possíveis
Exemplo: um barulho tem 52 cartas, sendo 13 cartas de cada naipe. Selecionando
uma carta ao acaso, qual a probabilidade de:
i. sair uma carta do naipe “paus”?
ii. sair uma carta com o número 2?
iii. sair uma carta com um número diferente de 2?
iv. sair o número 2 do naipe “copas”?
Solução: nesse experimento \(n(\mathrm{\Omega})=52\\) cartas:
I. o evento de interesse é E = 13 cartas de paus.
P(E) =
13
52
= 0, 25 ou 25
II. há quatro casos favoráveis: E = 2 copas, 2 paus, 2 espadas, 2 ouro.
P(E) = 
4
52 =
1
13
III. o evento de interesse é E = 2 de copas.
P(E) =
1
52
Probabilidade da União de Dois Eventos
Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral Ω, vamos encontrar uma
expressão para a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, isto é, a
probabilidade de ocorrência do evento A ∪ B.
Consideremos dois casos:
I. A ∩ B = ⊘
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Temos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
Como n(Ω) ≠ 0, podemos escrever:
n(A ∪ B)
n(Ω) =
n(A)
n(Ω) +
n(B)
n(Ω)
Da de�nição de probabilidade, segue que:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Nesse caso, A e B são chamados de eventos mutuamente exclusivos.
II. . A ∩ B ≠ ⊘
Da teoria dos conjuntos, temos que:
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n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
De modo análogo ao caso I, segue que:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
O evento A ∩ B representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.
Exemplo: dois dados são lançados simultaneamente.
O Espaço Amostral desse evento, lançar dois dados simultaneamente, é:
Tabela 3.1 - Espaço amostral 
Fonte: Elaborada pela autora.
1. Qual a probabilidade de obter-se a soma dos pontos igual a 9 ou faces iguais?
Solução: sejam os eventos:
A = soma vale 9 → A = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
B = os números são iguais → B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
A ∩B = ⊘ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B) =
4
36
+
6
36
=
10
36
=
5
18
2. Qual é a probabilidade de obter-se a soma dos pontos igual a 8 ou faces iguais?
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Solução: soma dos pontos igual a 8: A = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
Números iguais: B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
A ∩ B = {(4, 4)}
A ∩ B ≠ ⊘ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 
5
36
+
6
36
−
1
36
=
10
36
=
5
18
Teorema
Seja Ω o espaço amostral �nito, resultado de um determinado experimento
aleatório, se A e B são eventos de Ω, temos:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Exemplo 1: de um baralho de 52 cartas, sorteia-se uma carta. Qual a
probabilidade de que seja um rei ou uma carta de ouros?
Solução: para o espaço amostral Ω, temos n(Ω) = 52.
Consideremos os eventos:
A = ″a carta retirada é um rei ″
.
B = ″a carta retirada é de ouros ″
.
Então, $n(A) = 4 e P(A) =
n(A)
n(Ω)
=
4
52
=
1
13
n(B) = 13 e P(B) =
n(B)
n(Ω)
=
13
52
=
1
4
O evento A ∩ B é ″a carta retirada é um rei de ouros ″ ; para ele, temos :
n(A ∩ B) = 1 e P(A ∩ B) =
n(A ∩ B)
n(Ω)
=
1
52
Para o evento A ∪ B, ″a carta retirada é um rei ou um carta de ouros ″ , segue que:
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P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 
1
13
+
1
4
−
1
52
=
4
13
Propriedade
Seja Ω o espaço amostral �nito, resultado de um determinado experimento
aleatório, se A e B são eventos de Ω mutuamente exclusivos, a probabilidade do
evento A ∪ B é a soma das probabilidades de A e de B.
Se A ∩ B = ⊘ , então P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Exemplo 2: de um baralho de 52 cartas, sorteia-se uma carta. Qual a
probabilidade de que seja um rei ou uma dama?
Solução: para o espaço amostral Ω, temos n(Ω) = 52
Consideremos os eventos:
A = ″a carta retirada é um rei ″ .
B = ″a carta retirada é uma dama ″ .
Então, n(A) = 4 e P(A) =
n (A )
n ( Ω ) =
4
52 =
1
13
n(B) = 4 e P(B) =
n (B )
n ( Ω ) =
4
52 =
1
13
O evento A ∩ B = ⊘ , então :
n(A ∩ B) = 0 e P(A ∩ B) = 0
Para o evento A ∪ B, ″a carta retirada é um rei ou a carta retirada é dama ″ , segue que:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) =
1
13 +
1
13 =
2
13
Eventos Complementares
Dois eventos A e B são ditos complementares quando A e B são subconjuntos
complementares do espaço amostral Ω.
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A e B são complementares.
Se A corresponde à condição “ocorrer um certo evento”, B = A− corresponde à
condição “não ocorrer esse evento”.
Note que, para os eventos A e A− , temos:
A ∪ A−= Ω evento certo
A ∩ A 
_
= ⊘ evento impossível
Propriedade
Seja Ω o espaço amostral �nito, resultado de um determinado experimento
aleatório, seja A um evento de Ω e A− seu evento complementar. Temos que:
P(A)
_
= 1 − P(A)
Exemplo 3: uma urna contém 100 bolas numeradas de 1 a 100. Uma bola é
retirada ao acaso. Qual a probabilidade de sair uma bola com um número que
não seja múltiplo de 7?
Solução: de�nir o evento B : ″bola retirada com número não múltiplo de 7 ″ .
O evento complementar será: B− : ″bola retirada com número múltiplo de 7 ″ .
Então, B− = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98}
Figura 3.5 - Eventos Complementares 
Fonte: Elaborada pela autora.
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P B− =
14
100
=
7
50
.
Segue, daí, que a probabilidade pedida é:
P(B) = 1 − P B− = 1 −
7
50
=
43
50
praticar
Vamos Praticar
A loja Light recebe, toda semana, 100 lotes de lâmpadas de Led. Para testar a qualidade
das lâmpadas, o departamento responsável faz testes aleatórios, para identi�car a
( )
( )
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quantidade de lâmpadas com defeito. No teste desta semana, duas lâmpadas foram
retiradas de um lote contendo 12 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas. Vamos calcular
a probabilidade de que, pelo menos, uma das lâmpadas retiradas desse lote seja
defeituosa.
a) 
14
33 .
b) 
19
33 .
c) 28.
d) 66.
e) 1.
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Vamos iniciar este conceito com um exemplo.
Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Escolhe-se uma delas ao acaso e
vê-se que o número marcado é maior que 8. Qual a probabilidade deste número
ser múltiplo de 5?
Número maior que 8: B = {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, então, = 12.
Dentre eles, o número de casos favoráveis é 3, a saber, A = {10, 15, 20}, = múltiplos
de 5.
A probabilidade pedida é, então:
P(A /B) = P múltiplo de 5 /maior que 8 =
3
12 =
1
4 , ou seja, P(A /B) =
P (A∩B )
P (B ) =
3
20
12
20
=
1
4 .
De�inição
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral Ω �nito e não vazio, chama-se
probabilidade de B condicionada a A a probabilidade de ocorrer o evento B, 
sabendo que já ocorreu o evento A.
Probabilidade CondicionalProbabilidade Condicional
( )
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Representa-se por P(B /A):
P(B /A) =
P(A ∩ B)
P(A)
Exemplo: no lançamento de um dado honesto, calcule a probabilidade de ocorrer
um número menor que 4, sabendo que o resultado é um número ímpar.
Solução: o espaço amostral é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(Ω) = 6.
Para o evento A = ″ocorre um número ímpar ″ , temos :
A = {1, 3, 5} e n(A) = 3, então P(A) =
n(A)
n(Ω)
=
3
6
=
1
2
Para o evento B = ″ocorre um número menor que 4 ″ , temos :
B = {1, 2, 3}. Daí, A ∩ B = {1, 3} e n(A ∩ B) = 2, então, P(A ∩ B) =
n(A ∩ B)
n(Ω)
=
2
6
=
1
3
Segue que a probabilidade do evento 
″ocorre um número menor que 4, sabendo − se que o resultado é um número ímpar ″ é:
P(B /A) =
P(A ∩ B)
P(A)
=
1
3
1
2
=
2
3
 
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Probabilidade de Dois Eventos Simultâneos
(ou Sucessivos)
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral Ω �nito e não vazio, sabemos
que P(B /A) =
P (A∩B )
P (A ) . Dessa fórmula, segue que:
P(A ∩ B) = P(B /A) ⋅ P(A)
Logo, para calcular a probabilidade de ocorrência de dois eventos simultâneos,
dado por P(A ∩ B), temos que multiplicar a probabilidade de B, dado que A já
ocorreu, P(B /A), pela probabilidade de ocorrência de A, P(A).
Exemplo: uma urna contém 20 bolas, sendo 12 vermelhas e oito azuis. Duas bolas
são retiradas sucessivamente e sem reposição. Qual a probabilidade de:
a. saírem duas bolas vermelhas?
b. saírem duas bolas de cores diferentes?
Solução:
A. veja o diagrama abaixo:
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A probabilidade de a primeira bola ser vermelha é de P(V) =
12
20 .
A probabilidade de a segunda bola ser vermelha, dado que a primeira bola
retirada é vermelha, é de P(V /V) =
11
19 .
Então, a probabilidade de saírem duas bolas vermelhas é:
P(V ∩ V) =
12
20 ⋅
11
19 =
33
95
B. há dois casos que nos interessam.
1. Tiramos uma bola vermelha e a outra azul ou tiramos uma bola azul e,
depois, uma bola vermelha.
P(V ∩ A) + P(A ∩ V) =
12
20 ⋅
8
19 +
8
20 ⋅
12
19 =
48
95
praticar
Vamos Praticar
Figura 3.6 - Urna 
Fonte: Elaborada pela autora.
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João e Maria planejavam ter 5 �lhos, 3 meninas e 2 meninos. Até o presente momento,
tiveram 2 �lhos que possuem idades diferentes (não são gêmeos). Vamos calcular a
probabilidade de que ambos os �lhos sejam meninos, sabendo que um deles é menino.
a) 
3
4 .
b) 
1
4 .
c) 
1
2 .
d) 
1
3 .
e) 1.
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Um dos conceitos mais importantes, no estudo das probabilidades, é o de
independência. Com um exemplo, desenvolveremos uma ideia intuitiva desse
conceito, e, em seguida, de�niremos o que signi�ca eventos independentes.
Consideramos, então, um grupo de 36 estudantes e sejam 
A = o estudante tem olhos verdes e B = o estudante é do sexo masculino.
Suponha que, para esses eventos, os estudantes distribuam-se conforme tabela
abaixo. 
Eventos IndependentesEventos Independentes
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Tabela 3.2 - Eventos independentes 
Fonte: Elaborada pela autora.
Se escolhermos um estudante ao acaso, as probabilidades dos eventos A e B são,
respectivamente:
P(A) =
18
36
=
1
2
P(B) =
12
36
=
1
3
Também, P(A ∩ B) =
6
36 =
1
6
Segue, daí, que P(A /B) =
P (A∩B )
P (B ) =
1
6
1
3
=
1
2
P(A /B) = P(A)
Note que a probabilidade de A, sabendo que B ocorreu, é igual à probabilidade de A.
Descrevemos tal situação dizendo que o fato de o evento $B$ ter ocorrido não
afeta a probabilidade do evento Aocorrer. Dizemos, então, que os eventos são
independentes.
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De�inição
Sejam A e B eventos de um espaço amostral Ω, com P(B) ≻ 0, o evento A é
independente do evento B, se P(A /B) = P(A).
Regra do Produto
Sejam A e B eventos de um espaço amostral Ω, se A e B são independentes, temos:
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B), isto é, a probabilidade do evento A e B é igual ao produto
das probabilidades de cada evento A e B.
Exemplo 1: uma moeda honesta é jogada duas vezes. Qual a probabilidade de
obter-se cara, na primeira jogada, e coroa, na segunda jogada?
Solução: o espaço amostral é descrito por:
Ω = {CC, CC− , C−C, C−C−}, onde C = cara e C− = coroa, e n(Ω) = 4
Evento A = sair cara na primeira jogada
n(A) = 2 e P(A) = 
2
4 =
1
2
Evento B = sair coroa na segunda jogada
Eventon(B) = 2 e P(B) =
2
4 =
1
2
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Note que “sair cara na primeira jogada” e “sair coroa na segunda jogada” são eventos
independentes; o fato de um deles concretizar-se não in�uencia na concretização
do outro. Então, para o evento A ∩ B, temos, pela Regra do Produto:
P(A ∩ B) = P A ⋅ P(B) = 
1
2
⋅
1
2
=
1
4
Teorema de Bayes
Suponha que A1, A2, . . . , An são eventos mutuamente exclusivos, cuja união é o
espaço amostral Ω, isto é, um dos eventos deve ocorrer. Então, se A é um evento,
temos o seguinte teorema importante:
P Ak /A =
P Ak ⋅ P A /Ak
Σnj= 1P Aj ⋅ P A /Aj
Isso permite-nos encontrar as probabilidades de vários eventos A1, A2, . . . , An que
causam a ocorrência de A. Por esta razão, o Teorema de Bayes é, geralmente,
referido como um teorema da probabilidade das causas (SPIEGEL; SCHILLER;
SRINIVASAN, 2013).
Exemplo: uma urna contém 6 bolas, das quais 3 são verdes e 3 são azuis. Uma
segunda urna contém 10 bolas, das quais 2 são verdes e 8 são azuis. Uma bola é
retirada de uma das urnas e é verde. Qual a probabilidade de que essa bola verde
tenha sido retirada da segunda urna?
Solução: eventos:
U1 = 
″bola ser retirada da primeira urna ″ → P(U1) =
1
2
;
U2 =
″bola ser retirada da segunda urna ″ → P U2 =
1
2
;
V = ″bola ser verde ″ ;
A = ″bola ser azul ″ ;
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
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P V /U1 =
3
6
=
1
2
;
P V /U2 =
2
10
=
1
5
Então, aplicando o Teorema de Bayes, temos:
P U2 /V =
P U2 ⋅ P V /U2
P U2 ⋅ P V /U2 + P U1 ⋅ P V /U1
=
1
2 ⋅
1
5
1
2 ⋅
1
5 +
1
2 ⋅
1
2
=
1
10
7
20
=
1
10 ⋅
20
7 =
20
70 =
2
7
praticar
Vamos Praticar
João foi ao supermercado de seu bairro comprar creme de leite para fazer uma torta de
limão. Quando chegou no corredor onde �ca o creme de leite, observou que tinham 20
caixinhas de creme de leite de uma determinada marca, das quais 4 estavam com o
prazo de validade vencido. Uma senhora passa e pega uma caixinha de creme de leite
ao acaso. Logo em seguida, um rapaz apanha outra caixinha ao acaso. João não tinha
certeza se as caixinhas que ambos pegaram eram vencidas ou não. Ficou preocupado e
pensativo. Qual a probabilidade de que a senhora tenha comprado o produto com o
prazo dentro da validade, mas o rapaz não?
a) 
16
95 .
b) 
12
19 .
c) 
3
95 .
d) 
16
20 .
e) 
4
20 .
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
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De�ne-se probabilidade frequentista: a probabilidade de um resultado de um
fenômeno aleatório é a proporção de vezes que o resultado ocorreria em uma
longa série de repetições. Essa ideia liga a probabilidade a resultados reais e
permite-nos, por exemplo, estimar probabilidades pela simulação de fenômenos
aleatórios.
Por exemplo, considerando o exemplo do dado, a estatística frequentista para
calcular a probabilidade de sair uma determinada face lançaria o dado muitas
vezes para concluir que, se o dado não for enviesado, a probabilidade de ocorrer
uma face é de, aproximadamente, 1/6.
Nas situações práticas, os eventos de um determinado espaço amostral podem
não ser equiprováveis. Nesse caso, temos de calcular a probabilidade como a
frequência relativa de um evento.
Frequência Relativa
Suponha que seja repetido n vezes um experimento aleatório E, e sejam A e B dois
eventos associados a E. Admitamos que sejam, respectivamente, nA e nB o número
de vezes que o evento A e o evento B ocorram nas n repetições.
Probabilidade FrequentistaProbabilidade Frequentista
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De acordo com Meyer (1983, p. 15), fA =
nA
n é denominada a frequência relativa do
evento A nas n repetições de E. A frequência relativa fA apresenta as seguintes
propriedades, de fácil veri�cação:
1. 0 ≤ fA ≤ 1.
2. fA = 1 se, e somente se, A ocorrer em todas as n repetiões.
3. fA = 0 se, e somente se, A nunca ocorrer nas n repetiões.
4. Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, e se fA∪B for a frequência
relativa associada ao evento A ∪ B, então fA∪B = fA + fB.
Exemplo: um dado foi lançado 600 vezes. Observe a tabela abaixo.
Tabela 3.3 - Frequência relativa 
Fonte: Elaborada pela autora.
Podemos dizer que os resultados obtidos foram bem próximos do esperado. Do
total de 600 observações, a frequência relativa de cada lado do dado �cou bem
perto dos 17% esperados para um dado de 6 faces não viciado.
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Sucesso e Fracasso
Seja um evento aleatório, no qual consideramos, unicamente, dois resultados, que
chamaremos um de sucesso e o outro de fracasso.
Exemplo: no lançamento de dois dados, podemos chamar de sucesso o resultado
“soma 5”; nesse caso, chamaremos de fracasso o resultado “soma diferente de 5”.
Note que a probabilidade de sucessoserá p =
4
36 =
1
9 , e a probabilidade do
fracasso q = 1 − p =
8
9 .
Vamos supor, agora, que o experimento seja repetido 10 vezes. Cada repetição do
experimento chamaremos de prova. Então, podemos propor o seguinte
problema:
Qual a probabilidade de, nas 10 provas, obtermos 3 sucessos?
Este problema é resolvido com a Fórmula de Bernoulli (século XVII), que veremos
a seguir.
Fórmula de Bernoulli
Vamos supor que são realizadas n provas independentes de um experimento.
Independente signi�ca que a probabilidade de cada prova não depende dos
resultados das provas anteriores e nem dos resultados das provas posteriores.
Em cada uma das n provas o resultado A pode ocorrer (sucesso) como pode não
ocorrer (fracasso). Vamos supor, ainda, que a probabilidade de sucesso em cada
prova seja a mesma e igual a p; consequentemente, a probabilidade de fracasso
em casa prova é também constante e vale q = 1 − p. Então, a probabilidade de
que, nas n provas, obtenha-se k sucessos e, portanto, n − k fracassos é dada por
(IEZZI et al., 2005, p. 388):
p(n, k) = Cn , k ⋅ p
k ⋅ qn− k, com p + q = 1
i
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praticar
Vamos Praticar
A empresa Alfa utiliza, em seu processo produtivo, um determinado insumo. Os dados
colhidos nos registros da empresa mostram que o fornecedor desse insumo enviou 80
lotes anteriormente, e a equipe de qualidade total rejeitou 15 desses lotes. Utilizando o
método da probabilidade frequentista, qual a probabilidade de a equipe de qualidade
rejeitar o próximo lote de insumos desse fornecedor?
a) 
65
80 .
b) 
15
80 .
c) 
16
81 .
d) 
64
81 .
e) 0.
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indicações
Material Complementar
LIVRO
Probabilidade: um curso moderno com
aplicações
Sheldon Ross
Editora: Bookman
ISBN: 9780136033134
Comentário: Este livro está na 8ª edição e utiliza os
exemplos mais atuais do conteúdo abordado nesta
unidade. Ademais, possui exercícios resolvidos que
auxiliam no melhor entendimento e aprofundamento da
unidade.
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FILME
A Grande Aposta
Ano: 2015
 Comentário: : “A Grande Aposta” mostra a utilização da
teoria das probabilidades e as funções de distribuição de
probabilidade. Estas são partes da Matemática retratadas
no �lme, permitindo fazer, de forma adequada, uma
análise e preci�cação de riscos em operações �nanceiras.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer
disponível.
T R A I L E R
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conclusão
Conclusão
Nesta unidade, aprendemos a teoria das probabilidades, suas propriedades,
teoremas e aplicações. O conteúdo foi abordado a partir de vários exemplos do
cotidiano do(a) aluno(a), para um melhor entendimento da teoria. As atividades,
ao �nal de cada tópico, foram construídas para que o(a) aluno(a) consiga �xar
todo o conteúdo abordado, bem como a leitura do artigo e a análise do �lme
sugerido. O conjunto �nal desta unidade dará, ao(a) aluno(a), uma excelente base
para as próximas etapas.
referências
Referências Bibliográ�cas
IEZZI, G. et al. Matemática. São Paulo: Atual, 2005.
MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicações à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 1983.
MORGADO, A. C. O. et al. Análise Combinatória e Probabilidade. Rio de Janeiro:
IMPA, 2006.
SANTOS, L. G. O problema de Monty Hall: Uma abordagem introdutória para o
estudo da Probabilidade Condicional. 2015. 51 f. Dissertação (Mestrado em
Matemática) - Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2015.
Disponível em: https://repositorio.ufsc.br/xmlui/handle/123456789/160669.
Acesso em: 27 nov. 2019.
https://repositorio.ufsc.br/xmlui/handle/123456789/160669
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SPIEGEL, M.; SCHILLER, J.; SRINIVASAN, A. Probabilidade e Estatística. Porto
Alegre: Bookman, 2013
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