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Curso Introdutório de Análse Matemática
Flávio Falcão
Universidade Estadual do Ceará - FAFIDAM
flavio.falcao@uece.br
2016
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 1 / 87
Conteúdo
1 Introdução
Apresentação do Curso
2 Números Naturais
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 2 / 87
Apresentação do Curso
Este é um curso introdutório de Análise Matemática para alunos de Licenciatura.
As notas aqui apresetadas estão baseados no Livro Análise Real: Funções de Uma
Variável Real cujo autor é Elon Lages Lima.
Sentimo-nos motivados a disponibilizar aos alunos do Curso de Matemática da
Faculdade de Filosofia Dom Aureliano Matos - FAFIDAM, uma proposta de trabalho
que lhes permita um melhor rendimento na disciplina.
Sendo esta uma disciplina de final de Curso e com um número significativo de
reprovações, entendemos ser fundamental uma atenciosa explanação das definições,
bem como explorar cuidadosamente as demonstrações de cada resultado proposto
pelo autor.
Dessa forma, nossa contribuição consiste em expor o conteúdo de forma
didática, sem perder o rigor, porém de forma mais detalhada, a fim de garantir uma
maior assimilação do assunto e garantindo assim mais sucesso na disciplina e
consequentemente uma formação de qualidade.
Esperamos que estas notas de aula sejam úteis tanto a alunos, quanto a colegas
professores.
Flávio Falcão
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 3 / 87
Conteúdo
1 Introdução
2 Números Naturais
Noções de Teoria de Conjuntos
Caracterização de um Conjunto
Operações com Conjuntos
Paradoxo de Russell
Números Naturais
Operações em N
Conjuntos Finitos
Conjuntos Infinitos
Conjuntos Enumeráveis
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 4 / 87
Apresentamos aqui um curta revisão sobre Teoria de Conjuntos
que tem por objetivo nivelar a turma quanto a algumas difinições e
notações.
Definição 2.1
Um conjunto é constituído de objetos chamados elementos.
Observação 1
Usamos a notação x ∈ A, lê-se x pertence a A, para dizer que x é um
elemento do conjunto A. Se x não é um elemento de A, então
escrevemos x /∈ A, lê-se x não pertence a A.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 5 / 87
Conteúdo
1 Introdução
2 Números Naturais
Noções de Teoria de Conjuntos
Caracterização de um Conjunto
Operações com Conjuntos
Paradoxo de Russell
Números Naturais
Operações em N
Conjuntos Finitos
Conjuntos Infinitos
Conjuntos Enumeráveis
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 6 / 87
Uma forma de caracterizar um conjunto é através da lista dos seus
elementos.
Exemplo 2.1
A = {1, 2, 3, 4, . . . }.
Outra forma de caracterizar um conjunto é através de uma
propriedade P possuída por todos os seus elementos e apenas por
estes.
Neste caso escrevemos: {x;P (x)}, {x|P (x)} ou {x : P (x)}.
Exemplo 2.2
Consideremos P a propriedade "é um número par"e seja
A = {x;P (x)} = {0, 2, 4, 6, . . . }.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 7 / 87
Observação 2
1 A ordem dos elementos em um conjunto não importa;
2 As repetições dos elementos de um conjuntos são irrelevantes.
Exemplo 2.3
{a,b,c}={c,b,a}={a,b,b,c}.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 8 / 87
Definição 2.2
Dizemos que A é um subconjunto de B ou que A é uma parte de B,
ou ainda, que A está contido em B e escrevemos, A ⊂ B se todo
elemento de A pertence a B.
Dizemos também que B contém A e escrevemos B ⊃ A.
Quando A ⊂ B e B ⊂ A, os conjuntos A e B são ditos iguais e
escrevemos A = B.
Caso contrário, são diferentes e escrevemos A 6= B.
A notação A B é uma abreviação para A ⊂ B com A 6= B. Neste
caso dizemos que A é um subconjunto próprio de B.
De maneira geral, se A não é um subconjunto de B, então existe pelo
menos um elemento de A que não pertence a B.
Observação 3
Um conjunto especial é o chamado de vazio, denotado por ∅, que
não possui nenhum elemento, ou seja, não existe x tal que x ∈ ∅.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 9 / 87
Proposição 2.4
Seja A um conjunto, então ∅ ⊂ A.
Demonstração.
Suponhamos, por absurdo, que ∅ 6⊂ A. Isso significa que existe pelo
menos um x ∈ ∅ tal que x /∈ A. O que é uma contradição, pois não
existe tal x satisfazendo x ∈ ∅.
Existem conjuntos cujos elementos são conjuntos. Usaremos a letra
C para denotar esse conjunto, o qual chamamos de coleção, uma
classe ou uma família de conjuntos.
Os elementos deC são chamados de membros.
Exemplo 2.5
Consideremos A = {1, 2}, B = {3}, C = {1, 3} eC = {A,B,C}.
Neste caso, A ∈C , C ∈C , {A} ⊂C , 1 /∈C , 1 ∈ C.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 10 / 87
Definição 2.3
Seja A um conjunto. A coleção de todos os subconjuntos de A é dita
conjunto das partes de A e é denotado porP (A) ou por 2A.
Em símbolos,
P (A) = {B;B ⊂ A}.
Portanto, B ∈P (A) se e somente se, B ⊂ A.
Exemplo 2.6
1 A = ∅, P (∅) = {∅};
2 A = {1, 2}, P (A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 11 / 87
Conteúdo
1 Introdução
2 Números Naturais
Noções de Teoria de Conjuntos
Caracterização de um Conjunto
Operações com Conjuntos
Paradoxo de Russell
Números Naturais
Operações em N
Conjuntos Finitos
Conjuntos Infinitos
Conjuntos Enumeráveis
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 12 / 87
Definição 2.4
Sejam A e B dois conjuntos.
Chamamos de união ou reunião de A e B, denotado por A ∪B, o conjunto cujos
elementos pertencem a A ou a B.
Chamamos de interseção de A e B e denotamos por A ∩B, o conjunto cujos
elementos pertencem a A e a B.
Em símbolos, A ∪B = {x;x ∈ A ou x ∈ B} e A ∩B = {x;x ∈ A e x ∈ B}.
Definição 2.5
SeC é uma coleção não vazia de conjuntos, então a união (ou reunião) da coleção
C é formada pelos elementos que pertencem a pelo menos um membro deC .
Em símbolos, ⋃
A∈C
A = {x; existe A ∈C tal que x ∈ A}.
A interseção da coleçãoC é constituída pelos elementos que pertencem a todos os
membros deC .
Em símbolos, ⋂
A∈C
A = {x;x ∈ A para todo A ∈C }.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 13 / 87
Definição 2.6
Sejam A e B conjuntos.O conjunto diferença entre A e B,denotado
por A−B,é constituído pelos elementos de A que não pertencem a B.
Em símbolos, A−B = {x;x ∈ A e x /∈ B}.
Exemplo 2.7
1 Se A ⊂ B,então A−B = ∅;
2 Se A ∩B = ∅,então A−B = A e B −A = B.
Definição 2.7
Quando trabalhamos apenas com subconjuntos de um determinado
conjunto X,subtendido no contexto, definimos o complementar de A
por X −A e denotamos por AC .
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 14 / 87
Definição 2.8
Sejam A e B conjuntos.
Chamamos de Produto Cartesiano de A e B, denotamos por A×B, o
conjunto formado pelos pares ordenados (a, b), tais que a ∈ A e b ∈ B,
ou seja,
A×B = {(a, b); a ∈ A e b ∈ B}.
Em particular podemos definir A×A e, por simplicidade, o denotamos
por A2. De maneira análoga definimos,
A×B × C = {(a, b, c); a ∈ A, b ∈ B e c ∈ C}.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 15 / 87
Conteúdo
1 Introdução
2 Números Naturais
Noções de Teoria de Conjuntos
Caracterização de um Conjunto
Operações com Conjuntos
Paradoxo de Russell
Números Naturais
Operações em N
Conjuntos Finitos
Conjuntos Infinitos
Conjuntos Enumeráveis
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 16 / 87
Paradoxo de Russell
O Paradoxo de Russell é um paradoxo descoberto por Bertrand Russell em
1901 e que mostra que no sistema do livro de Frege Leis fundamentais da
aritmética pode ser derivada uma contradição. O paradoxo foi comunicado
por uma carta a Frege de 1902. Frege publicou o paradoxo no segundo
volume de seu livro em 1903, num postfácio, mas Russell o publicou antes
no seu livro Princípios das Matemáticas. Parece ter sido descoberta
independentemente, mas não publicada, por Ernst Zermelo, pertencente ao
círculo de Hilbert. Posteriormente, foi publicado no clássico Principia
Mathematica e em muitos outros lugares.
A fim de entendermos o paradoxo de Russell vamos responder as
seguintes questões:
1 Podemos considerar um conjunto cujos elementos são conjuntos?
2 Um conjunto pode ser um elemento dele mesmo?
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 17 / 87
Observação 4
Considere o conjuntoC de todos os objetos que nãosão bolas.
ComoC não é uma bola, segue queC ∈C.
Vejamos como isto gera um paradoxo.
Diremos que um conjunto X é normal se ele não pertence a si próprio,
isto é, X /∈ X.
Seja N o conjunto dos conjuntos normais, isto é
N = {X;X é normal} = {X;X /∈ X}.
Mas e quanto a N , ele é normal?
Só existem duas possibilidades, sim ou não.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 18 / 87
Suponhamos, inicialmente, que N seja normal.
Segue diretamente da definição de N que N ∈ N .
Mas isto implica que N não é normal, o que é uma contradição.
Agora suponhamos que N não é normal, ou seja, N /∈ N .
Mas se isso ocorre, segue que N é normal e novamente temos uma
contradição.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 19 / 87
Conteúdo
1 Introdução
2 Números Naturais
Noções de Teoria de Conjuntos
Números Naturais
Operações em N
Conjuntos Finitos
Conjuntos Infinitos
Conjuntos Enumeráveis
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 20 / 87
Números Naturais
O conjunto N dos números naturais é caracterizado pelos seguintes
fatos:
1 Existe uma função injetiva s : N −→ N. A imagem s(n) de cada
número natural n chama-se o sucessor de n.
2 Existe um único número natural 1 ∈ N tal que 1 6= s(n) para todo
n ∈ N.
3 Se um conjunto X ⊂ N é tal que 1 ∈ X e s(X) ⊂ X, isto é, se
n ∈ X, e s(n) ∈ X, então X = N.
Em outras palavras, temos o que chamamos de Axiomas de Peano.
(A1) Todo número natural tem um sucessor, que ainda é um número
natural; números diferentes têm sucessores diferentes.
(A2) Existe um único número natural 1 que não é sucessor de nenhum
outro.
(A3) Se um conjunto de números naturais contém o número 1 e
também contém o sucessor de cada um de seus elementos,
então esse conjunto contém todos os números naturais.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 21 / 87
Observação 5
O axioma 3 é conhecido como o Princípio de Indução.
Proposição 2.8
Prove que para todo n ∈ N, s(n) 6= n.
Demonstração.
Seja X = {n ∈ N;n 6= s(n)} ⊂ N.
Note que X 6= ∅, pois 1 ∈ X.
De fato, segue do Axioma (2), que 1 6= s(n), para todo n ∈ N.
Em particular 1 6= s(1).
Assumindo que n ∈ X. Devemos provar que s(n) ∈ X.
De n ∈ X, temos que, n 6= s(n).
Agora, da injetividade de s vem que, s(n) 6= s(s(n)) e assim s(n) ∈ X.
Portanto, pelo Axioma (3), X = N.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 22 / 87
Conteúdo
1 Introdução
2 Números Naturais
Noções de Teoria de Conjuntos
Números Naturais
Operações em N
Adição em N
Multiplicação em N
Relação de Ordem
Princípio da Boa Ordenação - PBO
Conjuntos Finitos
Conjuntos Infinitos
Conjuntos Enumeráveis
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 23 / 87
Operações em N
N-ésima Iterada de uma função
Admitamos que dada uma função f : X −→ X, sabemos associar, de
modo único, a cada número natural n, uma função
fn : X −→ X
chamada n-ésima iterada de f, de tal modo que,
f1 = f e fs(n) = f ◦ fn.
Usando as iteradas da função s : N −→ N, definiremos a adição de
números naturais.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 24 / 87
Conteúdo
1 Introdução
2 Números Naturais
Noções de Teoria de Conjuntos
Números Naturais
Operações em N
Adição em N
Multiplicação em N
Relação de Ordem
Princípio da Boa Ordenação - PBO
Conjuntos Finitos
Conjuntos Infinitos
Conjuntos Enumeráveis
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 25 / 87
Adição em N
Definição 2.9
Dados m,n ∈ N, sua soma, denotada por m+ n é definida por
m+ n = sn(m).
Como consequência imediata da definição temos que:
1 s(m) = m+ 1;
2 s(m+ n) = m+ s(n).
Demonstração.
De fato, s(m) = s1(m) = m+ 1, provando (1).
Por outro lado,
m+ s(n) = ss(n)(m) = (s ◦ sn)(m) = s(sn(m)) = s(m+ n), provando (2).
De (1) e (2) obtemos a Associatividade com o 1.
Com efeito,
3 (m+ n) + 1 = s(m+ n) = m+ s(n) = m+ (n+ 1).
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 26 / 87
Propriedades da Adição em N
Listamos algumas propriedades básicas dos números naturais.
1 Associatividade m+ (n+ p) = (m+ n) + p;
2 Comutatividade m+ n = n+m;
3 Lei do Corte m+ n = m+ p⇒ n = p;
4 Tricotomia
Dados m,n ∈ N, exatamente uma das três alternativas ocorrem:
ou m = n,
ou existe p ∈ N tal que m = n+ p,
ou existe q ∈ N tal que n = m+ q.
A seguir demonstramos essas propriedades.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 27 / 87
Demonstração.
1 Associatividade
Seja X ⊂ N, o conjunto de todos os p ∈ N que satisfazem a
propriedade associativa.
Assim, por (3), segue que 1 ∈ X.
Agora assumindo que existe p ∈ X, devemos provar que s(p) ∈ X.
Com efeito,
m+ (n+ s(p)) = m+ s(n+ p) = s(m+ (n+ p))
= s((m+ n) + p) = (m+ n) + s(p).
Portanto, pelo Axioma 3,X = N.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 28 / 87
Demonstração.
2 Comutatividade
Seja X1 = {m ∈ N; 1 +m = m+ 1}.
Ou seja, provemos inicialmente que todo natural comuta com o 1, em relação a
adição.
É imediato que 1 ∈ X1,pois 1 + 1 = 1 + 1.
Supondo que existe p ∈ X1, devemos provar que s(p) ∈ X1.
Da hipótese de indução p ∈ X1, vem que, 1 + p = p+ 1 e consequentemente
s(1 + p) = s(p+ 1). (1)
Notando que,
s(1 + p) = 1 + s(p). (2)
Por outro lado,
s(p+ 1) = p+ s(1) = p+ (1 + 1) = (p+ 1) + 1 = s(p) + 1. (3)
Portanto, de (1), (2) e (3), obtemos que,
1 + s(p) = s(p) + 1. (4)
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 29 / 87
Demonstração. (Cont.)
Isto prova que s(p) ∈ X1 e pelo Axioma (3), X1 = N.
Agora mostraremos que para n ∈ N fixo, porém arbitrário,
Xn = {m ∈ N;n+m = m+ n} = N.
Note que de X1 = N vem que 1 ∈ Xn, qualquer que seja n ∈ N.
Suponhamos que p ∈ Xn e provemos que s(p) ∈ Xn.
De fato,
n+ p = p+ n⇒ s(n+ p) = s(p+ n)
⇒ n+ s(p) = p+ s(n) = p+ (n+ 1)
= (p+ n) + 1 = 1 + (p+ n) = (1 + p) + n
= (p+ 1) + n = s(p) + n.
Isto prova que s(p) ∈ Xn e, novamente pelo Axioma (3), Xn = N.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 30 / 87
3 Lei do Corte
Demonstração.
Seja X o conjunto de todos os m ∈ N tais que
m+ n = m+ p⇒ n = p, para todo n, p ∈ N.
Inicialmente provemos que 1 ∈ X.
Com efeito,
1 + n = 1 + p⇒ n+ 1 = p+ 1⇒ s(n) = s(p)⇒ n = p,
uma vez que s é injetiva.
Agora suponhamos que existe m ∈ X. Devemos provar que
s(m) ∈ X, ou seja, s(m) + n = s(m) + p⇒ n = p.
De fato,
s(m) + n = s(m) + p⇒ n+ s(m) = p+ s(m)⇒ s(n+m) = s(p+m)
⇒ n+m = p+m⇒ m+ n = m+ p⇒ n = p.
Portanto, pelo Axioma (3), X = N.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 31 / 87
4 Tricotomia
Demonstração.
Suponhamos que duas das afirmações ocorram simultaneamente,
digamos,m = n e m = n+ p, para algum p ∈ N.
Daí vem que,
m = m+ p⇒ s(m) = s(m+ p)
⇒ m+ 1 = (m+ p) + 1
⇒ m+ 1 = m+ (p+ 1)
⇒ 1 = p+ 1 = s(p),
o que contraria o Axioma (2).
Analogamente prova-se quando m = n e n = m+ q, com q ∈ N.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 32 / 87
Demonstração.
Digamos agora que existem p, q ∈ N tais que
m = n+ p e n = m+ q.
Daí obtemos que,
m = (m+ q) + p⇒ s(m) = s((m+ q) + p)
⇒ m+ 1 = m+ (q + p) + 1
⇒ 1 = (q + p) + 1
⇒ 1 = s(q + p),
o que novamente contraria o Axioma (2).
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 33 / 87
Conteúdo
1 Introdução
2 Números Naturais
Noções de Teoria de Conjuntos
Números Naturais
Operações em N
Adição em N
Multiplicação em N
Relação de Ordem
Princípio da Boa Ordenação - PBO
Conjuntos Finitos
Conjuntos Infinitos
Conjuntos Enumeráveis
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 34 / 87
Multiplicação em N
A fim de definirmos a operação de multiplicação em N, consideremos
a seguinte função para cada m ∈ N.
Seja fm : N −→ N definida por,
fm(p) = p+m,
ou seja, a função fm é a função "somar m".
Definição 2.10
Sejam m,n ∈ N. O produto de dois números naturais é definido por:
1 m · 1 = m;
2 m · (n+ 1) = (fm)n(m).
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 35 / 87
Obtemos daí de forma indutiva que
m(n+ 1) = m · n+m. (5)
Demonstração.
De fato, seja q ∈ N tal que s(q) = n.
Daí vem que,
m · n+m = fm(m · n) = fm(m · s(q))
= fm(f
q
m(m)) = (fm ◦ f qm)(m) = fs(q)m (m)
= m · s(s(q)) = m · s(n) = m · (n+ 1).
Note que (5) sugere que vale a Propriedade Distributiva, isto é,
m(n+ p) = m · n+m · p. (6)
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 36 / 87
Demonstração da Propriedade DistributivaDemonstração.
Com efeito, seja X o conjunto de todos os p ∈ N tais que (6) é
verdadeira.
De (5) e do fato que m = m · 1, vem que 1 ∈ X.
Assumindo que p ∈ X, segue que,
m · n+m · s(p) = m · n+m · (p+ 1) = (m · n+m · p) +m · 1
= m · (n+ p) +m · 1 = m · ((n+ p) + 1)
= m · (n+ (p+ 1)) = m · (n+ s(p)),
ou seja, s(p) ∈ X e portanto, X = N.
Observação 6
De modo inteiramente análogo prova-se que (n+ p) ·m = n ·m+ p ·m.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 37 / 87
Propriedades da Multiplicação em N
A seguir listamos outras propriedades da Multiplicação em N.
1 Comutatividade
m · n = n ·m
2 Associatividade
m · (n · p) = (m · n) · p
3 Lei do Corte
m · p = n · p⇒ m = n
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 38 / 87
1 Comutatividade
Demonstração.
Seja X o conjunto de todos os m ∈ N tais que m · n = n ·m, para todo
n ∈ N.
Inicialmente provemos que 1 ∈ X.
Com efeito, 1 · n = n = n · 1.
Agora suponhamos que existe m ∈ X.
Devemos provar que s(m) ∈ X, ou seja, s(m) · n = n · s(m).
De fato,
n ·s(m) = n · (m+1) = n ·m+n ·1 = m ·n+1 ·n = (m+1) ·n = s(m) ·n.
Portanto, pelo Axioma (3), X = N.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 39 / 87
2 Associatividade
Demonstração.
Seja X o conjunto de todos p ∈ N tais que
m · (n · p) = (m · n) · p, ∀ n,m ∈ N.
Inicialmente provemos que 1 ∈ X.
Com efeito,
m · (n · 1) = m · n = (m · n) · 1.
Agora supondo que existe p ∈ X, devemos provar que s(p) ∈ X, ou seja,
m · (n · s(p)) = (m · n) · s(p). (7)
De fato,
m · (n · s(p)) = m · (n · (p+ 1)) = m · (n · p) +m · n. (8)
Também temos que,
(m · n) · s(p) = (m · n) · p+m · n = m · (n · p) +m · n. (9)
Logo de (8) e (9) obtemos (7). Portanto, pelo Axioma 3, X = N.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 40 / 87
Conteúdo
1 Introdução
2 Números Naturais
Noções de Teoria de Conjuntos
Números Naturais
Operações em N
Adição em N
Multiplicação em N
Relação de Ordem
Princípio da Boa Ordenação - PBO
Conjuntos Finitos
Conjuntos Infinitos
Conjuntos Enumeráveis
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 41 / 87
Relação de Ordem
Definição 2.11
Dados os números naturais m,n. Escreve-se m < n. quando existe
p ∈ N tal que n = m+ p, para todo p ∈ N.
A notação m ≤ n, significa que m < n, ou m = n.
MONOTONICIDADE
Temos a seguinte propriedade de multiplicação de naturais chamada
de Monotonicidade.
m < n⇒ m · p < n · p.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 42 / 87
Relação de Ordem
Definição 2.11
Dados os números naturais m,n. Escreve-se m < n. quando existe
p ∈ N tal que n = m+ p, para todo p ∈ N.
A notação m ≤ n, significa que m < n, ou m = n.
MONOTONICIDADE
Temos a seguinte propriedade de multiplicação de naturais chamada
de Monotonicidade.
m < n⇒ m · p < n · p.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 42 / 87
Conteúdo
1 Introdução
2 Números Naturais
Noções de Teoria de Conjuntos
Números Naturais
Operações em N
Adição em N
Multiplicação em N
Relação de Ordem
Princípio da Boa Ordenação - PBO
Conjuntos Finitos
Conjuntos Infinitos
Conjuntos Enumeráveis
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 43 / 87
Princípio da Boa Ordenação - PBO
PBO
Todo subconjunto não-vazio A ⊂ N possui um menor elemento, isto é, um
elemento n0 ∈ A tal que n0 ≤ n para todo n ∈ A.
Demonstração.
Para cada n ∈ N definamos por In o conjunto dos números naturais menores ou
iguais a n, ou seja, In = {m ∈ N;m ≤ n}.
Se 1 ∈ A, então 1 será o menor elemento de A.
Se porém, 1 /∈ A, então consideremos o conjunto X dos naturais n tais que
In ⊂ N−A.
Como 1 /∈ A, segue que I1 = {1} ⊂ N−A, ou seja, 1 ∈ X.
Por outro lado, como A 6= ∅, concluímos que X 6= N, pois se X = N, teríamos
A = ∅, o que não ocorre.
Logo, a conclusão do Axioma 3, não é válida para X, isto é, existe algum n ∈ X tal
que o seu sucessor n+ 1 /∈ X.
Então,
In = {1, 2, 3, . . . , n} ⊂ N−A.
Mas, n0 = n+ 1 ∈ A, portanto n0 = n+ 1 é o menor elemento de A.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 44 / 87
Princípio da Boa Ordenação - PBO
PBO
Todo subconjunto não-vazio A ⊂ N possui um menor elemento, isto é, um
elemento n0 ∈ A tal que n0 ≤ n para todo n ∈ A.
Demonstração.
Para cada n ∈ N definamos por In o conjunto dos números naturais menores ou
iguais a n, ou seja, In = {m ∈ N;m ≤ n}.
Se 1 ∈ A, então 1 será o menor elemento de A.
Se porém, 1 /∈ A, então consideremos o conjunto X dos naturais n tais que
In ⊂ N−A.
Como 1 /∈ A, segue que I1 = {1} ⊂ N−A, ou seja, 1 ∈ X.
Por outro lado, como A 6= ∅, concluímos que X 6= N, pois se X = N, teríamos
A = ∅, o que não ocorre.
Logo, a conclusão do Axioma 3, não é válida para X, isto é, existe algum n ∈ X tal
que o seu sucessor n+ 1 /∈ X.
Então,
In = {1, 2, 3, . . . , n} ⊂ N−A.
Mas, n0 = n+ 1 ∈ A, portanto n0 = n+ 1 é o menor elemento de A.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 44 / 87
Conteúdo
1 Introdução
2 Números Naturais
Noções de Teoria de Conjuntos
Números Naturais
Operações em N
Conjuntos Finitos
Conjuntos Infinitos
Conjuntos Enumeráveis
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 45 / 87
Conjuntos Finitos
Continuaremos usando a notação In = {m ∈ N;m ≤ n}.
Definição 2.12
Um conjunto X diz-se finito quando é vazio ou então existem n ∈ N e
uma bijeção f : In −→ X.
Escrevendo, x1 = f(1), x2 = f(2), . . . , xn = f(n), temos então
X = {x1, x2, . . . , xn}.
Observação 7
A bijeção f chama-se contagem dos elementos de X e o número n
chama-se o número de elementos ou número cardinal do conjunto
finito X.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 46 / 87
Lema 2.13
Se existe uma bijeção f : X −→ Y , então dados a ∈ X e b ∈ Y , existe
também uma bijeção g : X −→ Y tal que g(a) = b.
Demonstração.
Seja b′ = f(a). Como f é sobrejetiva, existe a′ ∈ X tal que f(a′) = b.
Definamos g : X −→ Y pondo g(a) = b, g(a′) = b′ e g(x) = f(x) se x ∈ X, com
x 6= a e x 6= a′.
Afirmamos que g é bijetiva.
Com efeito,
(i) g é injetiva.
Sejam x, z ∈ X tais que x 6= z. Devemos provar que g(x) 6= g(z).
Se x = a, temos que g(a) = b = f(a′).
Se z = a′, temos que g(a′) = b′ = f(a).
Daí segue que se x 6= z, ou ainda a 6= a′, então f(a) 6= f(a′), pois f é injetiva e por
conseguinte, g(a) 6= g(a′).
Agora, consideremos quaisquer que sejam x, z ∈ X, com x 6= a ou z 6= a′.
Logo, se x 6= z, vem que f(x) 6= f(z), e pela definição de g segue que, g(x) 6= g(z).
Portanto g é injetiva.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 47 / 87
Demonstração. (Cont.)
(ii) g é sobrejetiva
Note que Y = Y − {b, b′} ∪ {b, b′}.
Seja c ∈ Y − {b, b′}. Do fato que f é sobrejetiva, existe um c′ ∈ X tal
que f(c′) = c.
Mas da definição de g, obtemos que,
g(c′) = f(c′) = c.
Por outro lado, se c ∈ {b, b′} existe um x ∈ {a, a′} tal que g(x) = c.
Isto mostra a sobrejetividade.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 48 / 87
Teorema 2.14
Se A é um subconjunto próprio de In, não pode existir uma bijeção
f : A −→ In.
Demonstração.
Suponhamos, por absurdo, que o teorema seja falso. Considere
n0 ∈ N, o menor número para o qual existem um subconjunto A In0
e uma bijeção f : A −→ In0 .
Se n0 ∈ A, então pelo Lema 2.13, existe uma bijeção, g : A −→ In0 ,
com g(n0) = n0.
Neste caso, a restrição de g a A− {n0}é uma bijeção do subconjunto
próprio A− {n0} de In0−1 sobre In0−1, o que contraria a minimalidade
de n0.
Se n0 /∈ A. Tomamos a ∈ A tal que f(a) = n0 e a restrição de f ao
subconjunto próprio A−{a} In0−1, é uma bijeção o que, novamente,
contraria a minimalidade de n0.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 49 / 87
Corolário 2.15
Se f : Im −→ X e g : In −→ X são bijeções, então m = n.
Demonstração.
Suponhamos que m < n, então Im seria um subconjunto próprio de In.
Por outro lado, g−1 : X −→ In também é bijeção.
Daí segue que g−1 ◦ f : Im −→ In é uma bijeção, pois é uma
composição de funções bijetivas.
O que contraria o Teorema 2.14.
Se n < m, de modo análogo obtemos uma contradição.
Portanto m = n.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 50 / 87
Corolário 2.16
Seja X um conjunto finito. Uma aplicação f : X −→ X é injetiva se, e
somente se, é sobrejetiva.
Demonstração.
Sendo X finito, segue, por definiçaõ, que existe uma bijeçãoϕ : In −→ X, para algum n ∈ N.
Afirmamos que f : X −→ X é injetiva (sobrejetiva) se, e somente se, a
função
ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ : In −→ In,
é injetiva (sobrejetiva).
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 51 / 87
Demonstração. (Cont.) - Injetividade
(⇒) Suponhamos que f : X −→ X é injetiva.
Sejam x, y ∈ In, tais que x 6= y, temos pela injetividade de ϕ que
ϕ(x) 6= ϕ(y) Inj. da f⇒ f(ϕ(x)) 6= f(ϕ(y))
Inj. da ϕ−1⇒ ϕ−1(f(ϕ(x))) 6= ϕ−1(f(ϕ(y))
⇒ (ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ)(x) 6= (ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ)(y)
Portanto, ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ é injetiva.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 52 / 87
Demonstração. (Cont.) - Injetividade
(⇐) Suponhamos que ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ : In −→ In é injetiva.
Sejam x, y ∈ X, tais que f(x) = f(y), então
f((ϕ ◦ ϕ−1)(x)) = f((ϕ ◦ ϕ−1)(y))⇒ (f ◦ ϕ ◦ ϕ−1)(x) = (f ◦ ϕ ◦ ϕ−1)(y)
⇒ ϕ ◦ ϕ−1((f ◦ ϕ ◦ ϕ−1)(x)) = ϕ ◦ ϕ−1((f ◦ ϕ ◦ ϕ−1)(y))
⇒ (ϕ ◦ ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ ◦ ϕ−1)(x) = (ϕ ◦ ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ ◦ ϕ−1)(y)
⇒ (ϕ(ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ)(ϕ−1(x))) = (ϕ(ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ)(ϕ−1(y)))
Inj. de ϕ⇒ (ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ)(ϕ−1(x)) = (ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ)(ϕ−1(y))
Inj. de ϕ−1◦f◦ϕ⇒ ϕ−1(x) = ϕ−1(y)
Inj. de ϕ−1⇒ x = y.
Isto prova que f é injetiva.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 53 / 87
Demonstração. (Cont.) - Sobrejetividade
(⇒) Suponhamos que f é sobrejetiva, isto é, dado x ∈ X existe y ∈ X tal que
f(y) = x.
Queremos provar a sobrejetividade de ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ, ou seja, dado xi ∈ In,
existe yi ∈ In tal que
(
ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ
)
(yi) = xi.
Com efeito, dado xi ∈ In, segue da sobrejetividade de ϕ−1 que existe y ∈ X
tal que ϕ−1(y) = xi.
Temos, por hipótese, que f é sobrejetiva, então existe x ∈ X tal que f(x) = y.
Por outro lado, da sobrejetividade de ϕ, vem que existe yi ∈ In tal que
ϕ(yi) = x.
Portanto, dado xi ∈ In temos que
ϕ−1(y) = xi ⇒ ϕ−1(f(x)) = xi ⇒ ϕ−1(f(ϕ(yi))) = xi ⇒
(
ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ
)
(yi) = xi,
donde segue a sobrejetividade de ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 54 / 87
Demonstração. (Cont.) - Sobrejetividade
(⇐) Suponhamos que ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ é sobrejetiva.
Queremos provar que f é sobrejetiva.
Dado a ∈ X, segue da sobrejetividade de ϕ que existe bi ∈ In tal que
ϕ(bi) = a.
Por outro lado, por hipótese, ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ é sobrejetiva, ou seja, existe ci ∈ In
tal que (
ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ
)
(ci) = bi ⇒ ϕ
(
ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ
)
(ci) = ϕ(bi)
⇒ (f ◦ ϕ) (ci) = ϕ(bi)
⇒ f(ϕ(ci)) = ϕ(bi) = a,
ou seja, existe d = ϕ(ci) ∈ X tal quef(d) = a.
Isto prova a sobrejetividade de f .
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 55 / 87
Resumo do Afirmado
Definindo,
g := ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ : In −→ In
temos,
(i) f é injetiva⇔ g é injetiva;
(ii) f é sobrejetiva⇔ g é sobrejetiva.
De (i) e (ii) podemos trocar f por g no enunciado do Corolário 2.16.
Demonstração. (Cont.)
Se f é injetiva, então por (i), g é injetiva. Fazendo A = g(In), teremos
uma bijeção
g−1 : A −→ In.
Pelo Teorema 2.14,A = In, o que prova que g é sobrejetiva e por
(ii), f é sobrejetiva.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 56 / 87
Demonstração. (Cont.)
Se f é sobrejetiva, então, por (ii), g é sobrejetiva.
Assim, para cada x ∈ In, podemos escolher um y := h(x) ∈ In tal que
g(y) = x.
Afirmamos que h é injetiva.
Suponhamos, por absurdo que, x 6= y eh(x) = h(y).
Da sobrejetividade da g, vem que existem x1, y1 ∈ In tais que
x1 = h(x) e g(h(x)) = x (10)
y1 = h(y) e g(h(y)) = y (11)
Mas sendo h(x) = h(y), vem de (10) e (11) que
g(h(x)) = x 6= y = g(h(x)).
O que contraria o fato da g ser função.
Logo h é injetiva.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 57 / 87
Demonstração. (Cont.)
Sendo In um conjunto finito,podemos aplicar o já provado na primeira
implicação à função h, ou seja, sendo h : In −→ In injetiva, então h é
sobrejetiva.
Agora provemos que g é injetiva.
Com efeito, sejam y1, y2 ∈ In tais que g(y1) = g(y2).
Da sobrejetividade da função h, existem x1, x2 ∈ In tais que y1 = h(x1) e
y2 = h(x2).
Daí vem que
x1 = g(h(x1)) = g(y1) = g(y2) = g(h(x2)) = x2.
Do fato que h é uma bijeção,
h−1(h(x1)) = x1 = x2 = h
−1(h(x2))⇒ h(x1) = h(x2)
⇒ y1 = y2.
Isto prova que g é injetiva e por (i), f é injetiva.
Assim concluímos a demonstração do Corolário 2.16.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 59 / 87
Corolário 2.17
Não pode existir uma bijeção entre um conjunto finito e uma sua parte
própria.
Demonstração.
Seja X finito e Y X.
Então, existem n ∈ N e uma bijeção ϕ : In −→ X.
Assim, A = ϕ−1(Y )é um subconjunto próprio de In.
Chamemos de ϕA : A −→ Y a bijeção obtida por restrição de ϕ a A.
Se existisse uma bijeção
f : Y −→ X,
então a composta
g := ϕ−1 ◦ f ◦ ϕA : A −→ In,
será também uma bijeção.
O que contraria o Teorema 2.14.
Portanto tal bijeção f não pode existir.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 60 / 87
Teorema 2.18
Todo subconjunto de um conjunto finito é finito.
Demonstração.
Provemos inicialmente o seguinte caso particular.
Se X é um conjunto finito e a ∈ X, então X − {a} é finito.
Com efeito, como X é finito, existe n ∈ N e uma bijeção f : In −→ X, a qual
pelo Lema 2.13, podemos supor que satisfaz f(n) = a.
Se n = 1, então X − {a} = ∅, que é finito.
Se n > 1, a restrição de f a In−1 é uma bijeção sobre X − {a}.
Logo, X − {a} é finito e tem n− 1 elementos.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 61 / 87
Demonstração. (Cont.)
O caso geral se prova por indução no número n de elementos de X.
Note que isto é evidente quando X = ∅ ou quando n = 1.
Suponhamos que o afirmado no Teorema é verdadeiro para conjuntos com n
elementos.
Sejam X um conjunto com n+ 1 elementos e Y um subconjunto de X.
Se Y = X, nada mais há a provar.
Caso contrário, ou seja, se Y X, então existe a ∈ X tal que a /∈ Y .
Disto vem que, Y ⊂ X − {a}.
Como X − {a} tem n elementos, segue, por hipótese de indução, que Y é
finito.
Isto conclui a demonstração do Teorema.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 62 / 87
Corolário 2.19
Seja f : X −→ Y.
(i) Se Y é finito e f é injetiva, então X é finito.
(ii) Se X é finito e f é sobrejetiva, então Y é finito.
Demonstração.
Provemos (i) inicialmente.
Sabemos do Teorema 2.18 que f(X) ⊂ Y , é finito.
Sendo f injetiva, temos que f : X −→ f(X) é uma função bijetiva.
Como f(X) é finito, existem n ∈ N e uma bijeção g : In −→ f(X).
Daí, temos que para este n ∈ N, a seguinte função f−1 ◦ g : In −→ X é uma
bijeção e portanto, X é finito.
Provemos agora (ii).
Da sobrejetividade da f , segue que para cada y ∈ Y , podemos escolher um
x = h(y) ∈ X, tal que f(x) = y.
Isto define uma função injetiva h : Y −→ X tal que f(h(y)) = y, para todo
y ∈ Y .
Pelo provado no item (i), podemos concluir que Y é finito.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 63 / 87
Observação 8
Um subconjunto X ⊂ N, diz-se limitado quando existe um p ∈ N tal
que x ≤ p, para todo x ∈ X.
Corolário 2.20
Um subconjunto X ⊂ N é finito se, e somente se, é limitado.
Demonstração.
(⇒)Se X é finito, então X = {x1, x2, x3, . . . , xn}, para algum n ∈ N.
Fazendo p = x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn ∈ N, temos que
xi ≤ p, i = 1, 2, . . . , n.
Ou seja, X é limitado.
(⇐) Se X ⊂ N é limitado, então X ⊂ Ip, para algum p ∈ N.
Como Ip é finito, segue do Teorema 2.18 , que X é finito.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 64 / 87
Conteúdo
1 Introdução
2 Números Naturais
Noções de Teoria de Conjuntos
Números Naturais
Operações em N
Conjuntos Finitos
Conjuntos Infinitos
Conjuntos Enumeráveis
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 65 / 87
Definição 2.21
Diz-se que um conjunto X é infinito, quando não é vazio e não existe, seja qual for
n ∈ N, uma bijeção f : In −→ X.
Teorema 2.22
Se X é um conjunto infinito, então existe uma aplicação injetiva f : N −→ X.
Demonstração.
Para cada subconjunto não vazio A ⊂ X, escolhemos um elemento xA ∈ A.
Em seguida, definimos indutivamente, uma função f : N −→ X, pondo
f(1) = xX . Supondo já definidos, f(1), f(2), . . . , f(n), escrevamos
An = X − {f(1), f(2), . . . , f(n)} 6= ∅, pois X é infinito.
Definamos f(n+ 1) = xAn . Isto completa a definição de f .
Provemos que f é injetiva.
Sejam m,n ∈ N e suponhamos que m < n.
Então f(m) ∈ {f(1), f(2), . . . , f(n− 1)} enquanto que
f(n) = xAn−1 ∈ An−1 = X − {f(1), f(2), . . . , f(n− 1)}.
Logo, f(m) 6= f(n) e portantof é injetiva.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 66 / 87
Corolário 2.23
Um conjunto X é infinito se, e somente se, existe uma bijeção
ϕ : X −→ Y sobre um subconjunto próprio Y de X.
Demonstração.
(⇒) Sejam X um conjunto infinito e f : N −→ X uma aplicação
injetiva.
Escrevamos para cada n ∈ N, f(n) = xn. Consideremos o
subconjunto próprio Y = X − {x1}, de X.
Definamos ϕ : X −→ Y tal que
ϕ(x) =
{
x, se x /∈ {x1, x2, . . . , xn, . . . }
xn+1, se x = xn.
Afirmamos que ϕ é bijetiva.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 67 / 87
Demonstração. (Cont.)
Provemos primeiro que ϕ é injetiva.
Sejam z1, z2 ∈ X tais que z1 6= z2.
Se z1, z2 ∈ {x1, x2, . . . , xn, . . . , } então z1 = xi e z2 = xj , com i 6= j ∈ N.
Assim, ϕ(z1) = ϕ(xi) = xi+1 6= xj+1 = ϕ(xj) = ϕ(z2), ou seja, ϕ(z1) 6= ϕ(z2).
Agora, se z1 ∈ {x1, x2, . . . , xn, . . . } e z2 /∈ {x1, x2, . . . , xn, . . . } obtemos que
ϕ(z1) = ϕ(xi) = xi+1 ∈ {x1, x2, . . . , xn, . . . },
enquanto que ϕ(z2) = z2.
Assim, novamente obtemos que ϕ(z1) 6= ϕ(z2).
A última possibilidade é z1, z2 /∈ {x1, x2, . . . , xn, . . . }, então
ϕ(z1) = z1 e ϕ(z2) = z2
. Donde vem que, ϕ(z1) 6= ϕ(z2), pois z1 6= z2.
Logo, podemos concluir que ϕ é injetiva.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 68 / 87
Demonstração.
Para concluir provemos que ϕ é sobrejetiva.
Seja y ∈ Y = X − {x1}.
Assim, y ∈ {x2, . . . , xn, . . . } ou y /∈ {x2, x3, . . . , xn, . . . }.
Se y ∈ {x2, . . . , xn, . . . }, temos que y = xj+1, para algum j ∈ N.
Donde segue que existe um xj ∈ X tal que ϕ(xj) = xj+1 = y.
Se y /∈ {x2, x3, . . . , xn, . . . }, então y ∈ X − {x2, x3, . . . , xn, . . . }, e da
definição de ϕ, obtemos que ϕ(y) = y.
Isso prova a sobrejetividade da ϕ e, por conseguinte, ϕ é bijetiva.
(⇐) Pelo Corolário 2.17 do Teorema 2.14, vem que se tal bijeção
existe, então X não é finito, ou seja, X é infinito.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 69 / 87
Exemplo 2.9
Se N1 = N− {1},então ϕ : N −→ N1, definida por ϕ(n) = n+ 1, é uma
bijeção.
Exemplo 2.10
Seja Np = N− {1, 2, 3, . . . , p}. Então ϕ : N −→ Np, definida por
ϕ(n) = n+ p, é uma bijeção.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 70 / 87
Exemplo 2.11
Sejam P e I, os conjuntos dos números pares e ímpares,
respectivamente. Então, ϕ : N −→ P e ψ : N −→ I, definidas por
ϕ(n) = 2n e ψ(n) = 2n− 1, são bijeções.
Portanto os conjuntos P e I são infinitos.
Observação 9
Note que
N− P = I e N− I = P,
são conjuntos infinitos.
No entanto,
N− Np = {1, 2, 3, . . . , p},
é finito.
Ou seja, a diferença entre dois conjuntos infinitos, pode ser infinto ou
não.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 71 / 87
Conteúdo
1 Introdução
2 Números Naturais
Noções de Teoria de Conjuntos
Números Naturais
Operações em N
Conjuntos Finitos
Conjuntos Infinitos
Conjuntos Enumeráveis
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 72 / 87
Definição 2.24
Um conjunto X diz-se enumerável quando é finito ou quando existe uma
bijeção f : N −→ X.
Neste caso, f chama-se uma enumeração dos elementos de X.
Escrevendo f(1) = x1, f(2) = x2, . . . , f(n) = xn, . . . , tem-se que
X = {x1, x2, . . . , xn, . . . }.
Teorema 2.25
Todo subconjunto X ⊆ N é enumerável.
Demonstração.
Se X é finito, não há o que demonstrar.
Se X é infinito, devemos exibir uma bijeção de N em X.
Como X ⊆ N, pelo Princípio da Boa Ordenação, existe um x1 ∈ X, tal que x1 é o
menor elemento de X.
Suponhamos definidos x2, x3, . . . , xn ∈ X, tais que x1 < x2 < x3 < · · · < xn.
Escrevamos An = X − {x1, x2, . . . , xn} 6= ∅.
Como An ( X ⊂ N, então pelo Principio da Boa Ordenação An tem um elemento
mínimo, o qual denotamos por xn+1.
Afirmamos que X = {x1, x2, x3, . . . , xn, xn+1, . . . }.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 73 / 87
Demonstração. (Cont.)
Por construção {x1, x2, x3, . . . , xn, . . . } ⊂ X.
Se existisse algum x ∈ X diferente de todos os xn, teríamos x ∈ An, para
todo n.
Logo x seria um número natural maior do que todos os elementos do
conjunto infinito {x1, x2, . . . , xn, . . . }.
Ou seja, se z ∈ {x1, x2, . . . , xn, . . . }, então x1 ≤ z < x.
Isto é, {x1, x2, . . . , xn, . . . } ⊆ N é limitado.
Mas pelo Corolário 2.20, {x1, x2, . . . , xn, . . . } é finito, o que é uma
contradição.
Portanto, tal elemento x, não pode existir. Donde concluímos que
X ⊂ {x1, x2, . . . , xn, . . . }.
Por dupla inclusão, obtemos que X = {x1, x2, . . . , xn, . . . }.
Assim podemos definir a seguinte função bijetiva
f : N −→ X
n 7−→ xn
Daí segue que X é enumerável.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 74 / 87
Corolário 2.26
Seja f : X −→ Y injetiva. Se Y é enumerável, então X também é. Em
particular, todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável.
Demonstração.
Se Y é finito, digamos Y = {y1, y2, . . . , yn}, temos da injetividade de f que X
também é, pois se X fosse infinito, teria mais de n elementos e assim
teríamos, necessariamente, dois elementos diferentes com mesma
imagem, o que contraria a injetividade de f .
Assim, neste caso, X é enumerável.
Se Y é infinito, então existe uma bijeção ϕ : Y −→ N.
Da injetividade da f , vem queϕ ◦ f : X −→ N é injetiva.
Fazendo (ϕ ◦ f)(X) = A ⊂ N, temos que (ϕ ◦ f)A : X −→ A é bijetiva.
Pelo Teorema 2.25, A ⊂ N é enumerável.
Assim, existe uma bijeção ψ : A −→ N.
Portanto, ψ ◦ (ϕ ◦ f)A : X −→ N é uma bijeção.
Donde concluímos que X é enumerável.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 75 / 87
Demonstração. (Cont.)
Em particular, se X ⊂ Y , consideramos a aplicação inclusão
i : X −→ Y
x 7−→ i(x) = x
que é injetiva.
Assim, pelo que já foi provado, X é enumerável.
Corolário 2.27
Seja f : X −→ Y sobrejetiva. Se X é enumerável, então Y também é.
Demonstração.
Uma vez que f é sobrejetiva, para cada y ∈ Y podemos escolher um
x = h(y) ∈ X, tal que f(x) = y.
Isto define uma aplicação injetiva h : Y −→ X, tal que f(h(y)) = y, para todo
y ∈ Y .
Pelo Corolário 2.26, vem que Y é enumerável.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 76 / 87
Corolário 2.28
O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é enumerável.
Demonstração.
Do fato que X e Y são enumeráveis, vem que existem f : N −→ X e
g : N −→ Y que são,em particular, funções sobrejetivas.
Definamos
ϕ : N× N −→ X × Y
(m,n) 7−→ (f(m), g(n)).
Afirmamos que ϕ é sobrejetiva.
Com efeito, dado (x, y) ∈ X × Y , então x ∈ X e y ∈ Y .
Pela sobrejetividade de f e de g, existem k1 ∈ N e k2 ∈ N, tais que
x = f(k1) e y = g(k2).
Assim, considerando (k1, k2) ∈ N× N, temos que
ϕ(k1, k2) = (f(k1), g(k2)) = (x, y).
Isto prova a sobrejetividade da ϕ.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 77 / 87
Demonstração. (Cont.)
Sendo ϕ : N× N −→ X × Y sobrejetiva, assumamos, por um
momento, que N× N é enumerável.
Segue imediatamente do Corolário 2.27, que X × Y é enumerável.
Portanto, resta-nos apenas provar que N× N é enumerável.
Definamos
ψ : N× N −→ N
(m,n) 7−→ 2m · 3n
Note que ψ é injetiva, em razão da unicidade da decomposição de um
número natural em fatores primos.
Portanto, segue do Corolário 2.26, que N× N é enumerável.
Isto prova o desejado.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 78 / 87
Corolário 2.29
A reunião de uma família enumerável de conjuntos enumeráveis é
enumerável.
Demonstração.
Com efeito, dados X1, X2, . . . , Xn, . . . enumeráveis, existem funções, em
particular, sobrejetivas
f1 : N −→ X1, f2 : N −→ X2, . . . , fn : N −→ Xn, . . .
Tomando X = ∪∞n=1Xn, definamos a função
f : N× N −→ X
(m,n) 7−→ fn(m).
Se assumirmos, por um momento, que f é sobrejetiva, segue do Corolário
2.27 que X = ∪∞n=1Xn é enumerável, uma vez que N× N é enumerável.
Assim, resta-nos provar que f é sobrejetiva.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 79 / 87
Demonstração. (Cont.)
De fato, dado x ∈ X = ∪∞n=1Xn.
Então x ∈ Xk1 , para algum k1 ∈ N.
Pela sobrejetividade da função fk1 : N −→ Xk1 , existe p ∈ N, tal que, fk1(p) = x.
Daí vem que, se considerarmos (p, k1) ∈ N× N, então
f(p, k1) = fk1(p) = x.
Isto prova a sobrejetividade da f e conclui a demonstração.
Observação 10
Todo conjunto infinito contém um subconjunto infinito enumerável.
Demonstração.Seja X um conjunto infinito.
Pelo Teorema 2.22, existe uma aplicação injetiva f : N −→ X.
Considere f(N) = Y ⊂ X.
Temos que f : N −→ Y é uma bijeção, portanto Y ⊂ X é infinito e enumerável.
Este subconjunto enumerável de X é dito o "menor"dos subconjuntos infinitos de X.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 80 / 87
Exemplo 2.12
O conjunto Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . } dos números inteiros é
enumerável.
Demonstração.
Considere f : N −→ Z
n 7−→
{
f(n) = −n
2
, se n é par
f(n) = (n−1)
2
, se n é ímpar.
Afirmamos que f é uma bijeção.
f é injetiva
Sejam m,n ∈ N, tais que m 6= n, digamos m < n.
Temos que verificar algumas possibilidades.
Suponhamos, num primeiro momento, que m é par e n é ímpar.
Daí vem que
f(m) =
−m
2
< 0 ≤ n− 1
2
= f(n)
ou seja, f(m) 6= f(n).
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 81 / 87
Demonstração. (Cont.)
Agora façamos o caso em que m e n são pares,
f(m) =
−m
2
>
−n
2
= f(n).
Enquanto que se m e n forem ímpares,
f(m) =
m− 1
2
<
n− 1
2
= f(n).
Ou seja, em qualquer dos casos, f(m) 6= f(n), o que garante a injetividade de f .
f é sobrejetiva.
Seja z ∈ Z, devemos exibir um n ∈ N tal que f(n) = z.
Se z < 0, temos que
f(n) = z ⇔ −n
2
= z ⇔ n = −2z ∈ N.
Se z ≥ 0, temos que
f(n) = z ⇔ n− 1
2
= z ⇔ n− 1 = 2z ⇔ n = 2z + 1 ∈ N.
Isto prova a sobrejetividade de f . Portanto f é bijetora e por conseguinte Z é
enumerável.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 82 / 87
Observação 11
Note que pelo Corolário 2.27, uma vez que N é um conjunto
enumerável, bastava provar a sobrejetividade de f .
Exemplo 2.13
O conjunto Q = {m
n
;m,n ∈ Z e n 6= 0} dos números racionais é
enumerável.
Demonstração.
Com efeito, considerando Z∗ = Z− {0}, temos pelo Corolário
2.26, uma vez que Z é enumerável, que Z∗ também é enumerável.
Agora pelo Corolário 2.28, segue que Z× Z∗ é enumerável.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 83 / 87
Demonstração. (Cont.)
Definindo
ϕ : Z× Z∗ −→ Q
(m,n) 7−→ ϕ(m,n) = m
n
.
Pelo Corolário 2.27, para concluirmos que Q é enumerável, é
suficiente mostrar que ϕ é sobrejetiva.
A sobrejetividade da função ϕ é imediata, uma vez que se
x ∈ Q, então, por definição, existem p ∈ Z e q ∈ Z∗, tais que
x =
p
q
, desta forma vem que
ϕ(p, q) =
p
q
= x.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 84 / 87
Exemplo 2.14
Um conjunto não enumerável.
Seja S o conjunto de todas as sequências infinitas formadas com os símbolos 0 e
1, tais como s = (0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, . . . ).
Em outras palavras, S é o conjunto de todas as funções s : N −→ {0, 1}, tais que,
para cada n ∈ N, o valor de s(n), igual a 1 ou 0, é o n-ésimo termo da sequência s.
Por exemplo, s1 : N −→ {0, 1}; s1 = (0, 0, 0, 0, . . . , 0, . . . )
n 7−→ s1(n) = 0.
s2 : N −→ {0, 1}; s2 = (1, 1, 1, 1, . . . , 1, . . . )
n 7−→ s2(n) = 1.
s3 : N −→ {0, 1}; s3 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . )
n 7−→
{
0, se n é par
1, se n é ímpar.
s4 : N −→ {0, 1}; s4 = (1, 1, 0, 1, 1, 0, . . .)
n 7−→
{
0, se n = 3q; q ∈ N
1, caso contrário.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 85 / 87
Note que S é um conjunto infinito, porém provaremos que S não é
enumerável.
Para isto provemos que não existe qualquer subconjunto enumerável de
S, igual a S.
Seja X = {s1, s2, s3, . . . } ⊂ S, um subconjunto enumerável de S, qualquer.
Nosso objetivo é exibir um elemento de S que não pertence a X.
Com efeito, dado sm ∈ X, indiquemos por
sm(n) = snm,
o n-ésimo termo da sequência sm.
Para ilustrar vejamos que,
s12 = s2(1), s34 = s4(3), . . . , sn6 = s6(n), . . . , smn = sn(m), smm = sm(m).
Formamos uma nova sequência s∗ : N −→ {0, 1}, ou seja, s∗ ∈ S, da
seguinte forma
s∗(n) =
{
0, se snn = 1
1, se snn = 0.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 86 / 87
Ou seja,
s11 s21 s31 . . . sn1 . . .
s12 s22 s32 . . . sn2 . . .
s13 s23 s33 . . . sn3 . . .
...
...
...
. . .
... . . .
s1n s2n s3n . . . snn . . .
Por definição, s∗ /∈ X.
De fato, suponhamos, por absurdo, que s∗ ∈ X.
Então existe algum k ∈ N tal que s∗ = sk.
Assim, se sk(k) = skk = 0, então s∗(k) = 1.
Enqunto que, se sk(k) = skk = 1, então s∗(k) = 0.
Ou seja, s∗ 6= sk, o que é uma contradição.
Portanto, s∗ /∈ X.
Mas s∗ ∈ S.
Isto prova que X ( S, ou seja, sendo X um subconjunto enumerável
qualquer de S, este jamais será igual a S.
Isto prova que S não é enumerável.
Flávio Falcão (UECE-FAFIDAM) Análise 2016 87 / 87
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