C3-11

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𝑅𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝒂𝒓𝟐 + 𝒃𝒓 + 𝒄 = 𝟎 𝑺𝒐𝒍𝒖çã𝒐 𝑮𝒆𝒓𝒂𝒍 𝑟1 , 𝑟2 reais e distintas 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑥 + 𝑐2𝑒𝑟2𝑥 𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟 𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒𝑟 𝑥 𝑟1 , 𝑟2 complexas: 𝛼 ± 𝛽𝑖 𝑦 = 𝑒𝛼𝑥(𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 sin 𝛽𝑥) 
Soluções de 𝑎𝑦´´ + 𝑏𝑦´ + 𝑐𝑦 = 0 
Resolver o problema de valor inicial 
Resolver o problema de valor inicial 
Resolver o problema de condição de contorno 
Resolver o problema de condição de contorno 
Solução por Variação de Parâmetros 
Solução yh = c1y1 + c2y2 Equação homogênea 
Solução 
Solução particular 
𝑊 = 𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2′ W é o wronskiano de y1, y2 
Resolver 
Resolver 
yc = c1y1 + c2y2 
𝑊 = 𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2′ 𝑊 = 
yc = c1y1 + c2y2 
𝑢 = − (𝑒𝑥)(𝑥 𝑒𝑥)3𝑒−𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = (𝑒−2𝑥)(𝑥 𝑒𝑥)3𝑒−𝑥 𝑑𝑥 
y(0) = y0 e y′(0) = 0. 
VIBRAÇÃO DE MOLAS 
Forçar restauradora 
Peso 
Forca de 
amortecimento 
VIBRAÇÕES FORÇADAS 
Uma mola presa a uma massa de 2 kg tem um comprimento natural de 0,5 m. 
Uma forca de 25,6 N e necessária para mantê-la esticada em um comprimento de 0,7 m. 
Se a mola for esticada para um comprimento de 0,7 m e entao for solta com velocidade 
inicial 0, determine a posição da massa em qualquer instante t. 
Uma mola presa a uma massa de 2 kg tem um comprimento natural de 0,5 m. 
Uma forca de 25,6 N e necessária para mantê-la esticada em um comprimento de 0,7 m. 
Se a mola for esticada para um comprimento de 0,7 m e entao for solta com velocidade 
inicial 0, determine a posição da massa em qualquer instante t. 
Pela Lei de Hooke m = 2 
Suponha que a massa do Exemplo anterior esteja imersa em um fluido com constante 
de amortecimento c= 40. Determine a posição da massa em qualquer instante t, se ele 
iniciar da posição de equilíbrio e for dado um empurrão para que a velocidade inicial seja 
de 0,6 m/s. 
Suponha que a massa do Exemplo anterior esteja imersa em um fluido com constante 
de amortecimento c= 40. Determine a posição da massa em qualquer instante t, se ele 
iniciar da posição de equilíbrio e for dado um empurrão para que a velocidade inicial seja 
de 0,6 m/s. 
m = 2 k = 128 
CIRCUITO ELÉTRICO 
Queda de voltagem no 
 resistor indutor capacitor 
A lei de voltagem de Kirchhoff diz que a soma destas 
quedas de voltagem e igual a voltagem fornecida 
𝑉 = 𝑅𝐼 𝑉 = 𝐿 𝑑𝐼𝑑𝑡 𝑉 = 𝑄𝐶 
E(t): Força eletromotriz (fonte de voltagem) 
Agora, derivando a equação íntegro-diferencial com relação a t: 
Determine a carga e a corrente no instante t no circuito da Figura se R = 40 ohms, 
L=1H, C = 16 × 10−4F, E(t) = 100 cos 10t, e a carga e a corrente inicial forem ambas 0. 
Determine a carga e a corrente no instante t no circuito da Figura se R = 40 ohms, 
L=1H, C = 16 × 10−4F, E(t) = 100 cos 10t, e a carga e a corrente inicial forem ambas 0. 
Q(t) = Qc(t) + Qp(t) 
Como exercício o aluno pode calcular Qp(t) por 
variação de parâmetros