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3 Figura 4 Para verificar a existência de um ponto de inflexão ( )( )kf,kP no gráfico de uma função f, basta verificar a mudança de sinal da segunda derivada na passagem por k. Observe simbolicamente como isto ocorre: Na figura 3 temos Na figura 4 temos Exemplo 48. Determine os intervalos onde a função ( ) 24 x4xxf −= tem concavidade voltada para cima, para baixo e os pontos de inflexão. Álvaro Fernandes 69 Temos que ( ) x8x4x´f 3 −= e ( ) 8x12x´´f 2 −= . ( ) 3 2x 3 2x 3 2 12 8x08x120x´´f 22 −<>⇒=>⇒>−⇒> ou . ( ) 3 2x 3 2 3 2 12 8x08x120x´´f 22 <<−⇒=<⇒<−⇒< . Assim, f tem C.V.C. no intervalo ( ) ( )∞+∪−∞− ,3232, e tem C.V.B. em ( )32,32 − . Os pontos de inflexão ocorrem nas abscissa 3 2x0 −= e 3 2x1 = . Assíntotas horizontais e verticais Em algumas aplicações práticas, encontramos gráficos que se aproximam de uma reta. Estas retas são chamadas de assíntotas. Vamos tratar mais detalhadamente das assíntotas horizontais e verticais. Álvaro Fernandes 70 Definição: A reta de equação kx = é uma assíntota vertical do gráfico de uma função ( )xfy = , se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira: i) ( ) +∞=+→ xflimkx ; ii) ( ) +∞=−→ xflimkx ; iii) ( ) −∞=+→ xflimkx ; iv) ( ) −∞=−→ xflimkx . Exemplo 49 a) A reta de equação 0x = é assíntota vertical da função ( )xlny = , pois ( ) −∞=+→ xlnlim0x . Observe o gráfico da função ( )xlny = : b) A reta de equação 1x = é assíntota vertical da função ( )21x ly −= , pois ( ) +∞=−→ 21x 1x 1lim . Observe o gráfico da função ( )21x ly −= : Álvaro Fernandes 71 Definição: A reta de equação ky = é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função ( )xfy = , se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira: i) ( ) kxflim x = +∞→ ; ii) ( ) kxflim x = −∞→ . Exemplo 50 a) A reta de equação 1y = é assíntota horizontal da função 2 2 x1 1xy + −= , pois 1 x1 1xlim 2 2 x x =+ − −∞→ +∞→ ou . Observe o gráfico da função 2 2 x1 1xy + −= : b) A reta de equação 0y = é assíntota horizontal da função ( ) x xseny = , pois ( ) 0 x xsenlim x x = −∞→ +∞→ ou . Graficamente podemos perceber que as oscilações vão reduzindo a sua amplitude e o gráfico da função ( ) x xseny = vai se aproximando da reta 0y = . Percebemos neste exemplo que a assintota horizontal toca o gráfico da função. Álvaro Fernandes 72 Esboços de gráficos Utilizando todos os resultados da análise gráfica das funções, podemos resumir numa tabela os procedimentos para esboçar o gráfico de uma função. Passos Procedimento 1o Encontrar o domínio da função; 2o Calcular os pontos de interseção da função com os eixos (quando não requer muito cálculo); 3o Calcular os pontos críticos da função; 4o Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função; 5o Encontrar os pontos de máximos e mínimos relativos da função; 6o Determinar a concavidade e os pontos de inflexão; 7o Determinar as assíntotas horizontais e verticais (se existirem); 8o Esboçar o gráfico. Exemplo 51. Esboce o gráfico da função ( ) 1x xxfy 2 −== . 1o passo (Domínio): 1x1x1x01x 22 ±≠⇒±≠⇒≠⇒≠− . Logo ( ) { }1,1fD −−ℜ= . 2o passo (Pontos de interseção com os eixos): ( ) ( ) =⇒−== =⇒−== ponto mesmo O : ) (faça eixo o com ponto o temosLogo : ) (faça eixo o com .0,0.0y 10 0y0xy .0,0.0x 1x x00yx 2 2 3o passo (Pontos críticos): ( ) ( ) ( )( ) ( )22 2 22 2 1x 1x... 1x x2x1x1x'f − −−==− −−= . ( ) ( ) 1x01x01x 1x0x'f 2222 2 −=⇔=−−⇔=− −−⇔= . Não existem pontos críticos, pois não existe ℜ∈x tal que 1x2 −= . Álvaro Fernandes 73 4o passo (Intervalos de crescimento e decrescimento): ( ) ( )22 2 1x 1xx'f − −−= . Estudando o sinal da derivada... A função é decrescente { }1,1x −−ℜ∈∀ . 5o passo (Pontos de máximos e mínimos relativos): Como o sinal de ( )x'f não muda (é sempre negativo), então não existem extremos relativos para f. 6o passo (Concavidade e pontos de inflexão): ( ) ( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )32 2 42 2222 1x 3xx2... 1x x21x21x1xx2x''f − +==− −−−−−−= . Estudando o sinal da segunda derivada... f tem C.V.C. ( ) ( )∞+∪−∈∀ ,10,1x . f tem C.V.B. ( ) ( )1,01,x ∪−∞−∈∀ . Como 1x −= e 1x = não fazem parte do domínio da função f , então o único ponto de inflexão é 0x = pois ''f muda de sinal quando passa por ele. Álvaro Fernandes 74 7o passo (Assíntotas horizontais e verticais): Vertical: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) −= −∞==− −=−+=− +∞==− −=−+=− = −∞===−+=− +∞===−+=− −−−→−→ ++−→−→ −−→→ ++→→ −− ++ −− ++ assíntota. é retaA assíntota. é retaA 1x . 0 1 20 1 1x1x xlim 1x xlim . 0 1 20 1 1x1x xlim 1x xlim 1x . 0 1 02 1 1x1x xlim 1x xlim . 0 1 02 1 1x1x xlim 1x xlim 1x21x 1x21x 1x21x 1x21x Horizontal: assíntota. é retaA l)(L´Hospita l)(L´Hospita 0y .0 x2 1lim 1x xlim .0 x2 1lim 1x xlim x2x x2x = ===− ===− −∞→−∞→ +∞→+∞→ 8o passo (Esboço do gráfico): Reunindo todos o elementos calculados, podemos agora traçar o gráfico: Álvaro Fernandes 75 Atividades (grupo 33) Pontos críticos. 1. Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem. a) ( )f x x= +3 2 . d) ( )f x e xx= − . b) ( )f x x x= − +2 3 8 . e) ( ) ( )4xxxf 2 −= . c) ( )f x x= −3 3 . f) ( )f x x x= −4 123 2 . Crescimento e decrescimento. 2. Determinar os intervalos nos quais as funções a seguir são crescentes ou decrescentes. a) ( )f x x= −2 1 . e) ( )f x x e x= −. . b) ( )f x x x= + +3 6 72 . f) ( )f x x x = + 1 . c) ( )f x x x x= + − +3 22 4 2 . g) ( ) ( ) ( ) [ ]f x x x x= + ∈2 2 0 2cos sen , , π . d) ( )f x e x= − . h) ( ) ( )1xxxf 2 −= . Pontos de extremos relativos. 3. Encontrar os pontos de máximos e mínimos relativos das seguintes funções, se existirem. a) ( )f x x x= + +3 23 1 . d) ( )f x x x= −5 255 3 . b) ( )f x x x= −8 42 3 . e) ( ) ( ) ( )1x1xxf +−= . c) ( ) ( ) ( ) 5x62x3xxf 23 +−+= . f) ( )f x xex= . 4. Encontre os pontos de máximos e mínimos relativos da função ( ) ( ) ( ),x2cosxsen2xf += [ ]π∈ 2,0x , usando o critério da segunda derivada. Álvaro Fernandes 76 Concavidade e ponto de inflexão. 5. Determinar os intervalos onde as funções têm concavidade voltada para cima (C.V.C.) e concavidade voltada para baixo (C.V.B.). Determine também os pontos de inflexão (P.I.). a) ( )f x x x x= − + +3 22 1 . d) ( ) ( )f x x= −2 21 . b) ( )f x x x= − +3 4 64 3 . e) ( )f x x= −5 1 . c) ( )f x x x= −2 66 4 . f) ( )f x xex= . Assíntotas. 6. Determine as assíntotas horizontais e verticais das funções abaixo, se existirem. a) ( )f x x x= − +3 23 2 . d) ( )f x x x x = −− − 2 2 2 . b) ( )f x x x = − 2 9 2 2 . e) ( ) ( )f x xx= sen . c) ( )f x x x = −+ 2 9 . f) ( ) ( )f x x x = ln3 .