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são função deriváveis, então a função ( ) ( ) ( )xgxfxh += tem derivada dada por ( ) ( ) ( )x'gx'fx'h += . Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. Exemplo 24. Se ( ) 5xx3x4xf 23 +−+= então ( ) 1x6x12x'f 2 −+= . 5. Derivada de um produto de funções. Se ( )xf e ( )xg são função deriváveis, então a função ( ) ( ) ( )xgxfxh ⋅= tem derivada dada por ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x'gxfxgx'fx'h ⋅+⋅= . Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. Exemplo 25. Se ( ) ( )( )x2xxxf 3 −−= então ( ) ( )( ) ( )( ) 2x2x6x410xxx21x3x'f 2332 −+−+−=−−+−−= . 6. Derivada de um quociente de funções. Se ( )xf e ( )xg são função deriváveis, então a função ( ) ( )( )xg xfxh = tem derivada dada por ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2xg x'gxfxgx'fx'h ⋅−⋅= . Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. Exemplo 26. Se ( ) x2 8x5xf 2 −= então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 2 x2 8x5...x4 28x5x2x10x'f +==⋅−−⋅= . Álvaro Fernandes 30 Atividades (grupo 19). 1. Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções abaixo: a) ( ) 1x3xxf 2 ++= − . b) ( ) ( ) ( )3xxxf 8 += . c) ( ) ( )( )x6xx3xf 4 −+= . d) ( ) ( ) 32 x23xxf −= . e) ( ) 3 x 2 3x5xf +−= . f) ( ) ( )x2xxf 41 −= . g) ( ) 6x 1x xxf 2 +++= − . h) ( ) 2x x2xf −= . i) ( ) ( )24 3 x1xxf −= . 2. Determine os valores das constantes a e b na parábola ( ) baxxf 2 += de modo que a reta de equação 4x8y += seja tangente a parábola no ponto 2x = . Derivada da função composta (Regra da cadeia) Até o momento sabemos derivar a função ( ) 3xxg = e também a função ( ) 1x2xf += . Considere agora a função composta ( ) ( )( ) ( )31x2xfgxgof +== . Como poderemos obter a derivada da função composta ( )xgof sem desenvolver o Binômio? A regra que veremos agora estabelece uma forma de obter a derivada da função composta em termos das funções elementares f e g. Regra da cadeia Se ( )ugy = , ( )xfu = e as derivadas du dy e dx du existem, então a função composta ( ) ( )( )xfgxgofy == tem derivada dada por dx du du dy dx dy ⋅= ou ( ) ( ) ( )xu´uy´xy´ ⋅= ou ( ) ( )( ) ( )x´fxfg´x´gof ⋅= . As três formas acima são equivalentes, mudam apenas as notações. Exemplo 27. Calcule a derivada das funções abaixo: a) ( )31x2y += b) 3x5y += c) 5 x31 xy −= Para calcular a derivada dessas funções, precisamos identificar as funções elementares ( )ugy = e ( )xfu = (cujas derivadas conhecemos) que formam a função composta e aplicar a regra. a) ( )31x2y += += = 1x2u uy 3 Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 1x2621x232u3xy´xu´uy´xy´ +=⋅+=⋅=⇒⋅= . Logo ( ) ( )21x26xy´ += . Álvaro Fernandes 31 b) 3x5y += += = 3x5u uy Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3x52 55 u2 1xy´xu´uy´xy´ +=⋅=⇒⋅= . Logo ( ) 3x52 5xy´ += . c) 5 x31 xy −= −= = x31 xu uy 5 Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) = − −−−⋅=⇒⋅= 24 x31 3xx311u5xy´xu´uy´xy´ ( )( ) ( )( ) ( ) ( )6 4 2 4 x31 x5 x31 3xx311 x31 x5 −= − −−−⋅ −= . Logo ( ) ( )6 4 x31 x5xy´ −= . Proposição: Se ( )xf é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então ( )[ ] ( )[ ] ( )x´f.xfnxf dx d 1nn −= Prova: Fazendo nuy = , onde ( )xfu = e aplicando a regra da cadeia, temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )x´fxfnxy´x´fnuxy´xu´uy´xy´ 1n1n ⋅=⇒⋅=⇒⋅= −− . A proposição continua válida se n for um número racional não nulo. Exemplo 28. Calcule a derivada da função 3 3xx14y −+⋅= . Podemos escrever ( ) 313xx14y −+= e calcular a derivada usando a proposição acima: ( ) ( ) ( )2323 x31xx1 3 14xy´ −⋅−+⋅= − . Obs: Com a regra da proposição acima poderíamos calcular todos os exercícios do exemplo 27. Mas a regra da cadeia é mais completa, ela possibilitará a resolução de outros problemas mais complicados... Álvaro Fernandes 32 Atividades (grupo 20). Calcule a derivada das funções abaixo: a) ( )63x2y −= . b) ( ) 34 2xy −−= . c) 3x2y −= . d) ( )( )x51 x31y 2 + −= . e) ( )( )3 4 x1 x2y −= f) 1x x41y 3 + += Derivada da função inversa Se uma função ( )xfy = admite uma função inversa ( )yfx 1−= , então a função inversa tem derivada dada por ( ) ( ) ( )x´f 1y´f 1 =− , ( ) 0x´f ≠ . Sabemos que ( ) xxoff 1 =− . Aplicando a regra da cadeia, obtemos que ( ) ( )( ) ( ) 1x´fxf´f 1 =⋅− , daí ( ) ( ) ( )x´f 1y´f 1 =− , desde que ( ) 0x´f ≠ . Exemplo 29. Seja ( ) 3x5xfy == . Calcule a derivada ( ) ( )40´f 1 − invertendo a função e usando a regra da derivada da inversa. ⇒ Invertendo a função: ( ) ( ) 31313 5 y 5 yyfxx5xfy ===⇒== − . Assim ( ) ( ) 5 1 5 y 3 1y´f 32 1 ⋅ = − − Logo ( ) ( ) ( ) ( ) 601815 18151515403140´f 3232 32 1 ===⋅ = − − − . ⇒ Usando a regra da derivada da inversa: Se 40y = e ( ) 3x5xfy == , então 28 5 40x 33 === . Como ( ) 2x15x´f = , obtemos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 60121512´f 140´fx´f 1y´f 211 ===⇒= −− . Álvaro Fernandes 33 Atividades (grupo 21). 1. Seja ( ) 3x5xfy −== . Calcule a derivada ( ) ( )2´f 1 − usando a regra da derivada da inversa. 2. Seja ( ) 0x,xxfy 2 >== . Calcule a derivada ( ) ( )3´f 1 − usando a regra da derivada da inversa. Derivada das funções elementares. Vamos agora apresentar as derivadas das funções elementares do cálculo. São elas as funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e trigonométricas inversas. 1. Derivada da função exponencial. Proposição: Se ( ) ( )1 e a0a,axf x ≠>= , então ( ) ( )alnax´f x= . Prova: ( ) ( ) ( ) ( )alna x 1alimalim x 1aalim x aalimx´f x x 0x x 0x xx 0x xxx 0x =∆ −⋅=∆ −=∆ −= ∆ →∆→∆ ∆ →∆ ∆+ →∆ . Lembre-se que ( ) ( )aln x 1alim x 0x =∆ −∆ →∆ é uma conseqüência importante do limite fundamental exponencial (item ii pág. 14). Caso particular: Se ( ) xexf = , então ( ) ( ) xx eelnex´f == , onde e é o número neperiano. Exemplo 30. Determine a deriva da função xe6y = . Usando a regra da cadeia, obtemos: ( ) ( ) ( ) x e3 x2 1e6xu´uy´xy´ xu e6y xu u =⋅=⋅= = = . Atividades (grupo 22). 1. Calcule a derivada das funções abaixo: a) ( ) 1x2xf += . b) ( ) x2exf = . c) ( ) 1x52 ex3xf +⋅= . d) ( ) 2x 2 e x1xf −= . 2. Calcule a área do triângulo retângulo sombreado na figura abaixo, sabendo-se que n é a reta normal a ( ) xexf = no ponto de abscissa 1=0x . Resp.: 2e3 Álvaro Fernandes 34 2. Derivada da função logarítmica. Proposição: Se ( ) ( ) ( )1 e a0a,xlogxf a ≠>= , então ( ) ( )alnx 1x´f = . Prova: A função logarítmica ( ) ( )xlogxfy a== é a inversa da função exponencial ( ) y1 ayfx == − . Podemos então usar o resultado da derivada da função inversa para determinar ( )x´f . Assim: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )alnx 1alna 1y´f 1x´f y1 === − . Caso particular: Se ( ) ( )xlnxf = , então ( ) ( ) x 1 elnx 1x´f == . Exemplo 31. Determine a deriva da função ( )xln ey 1x4 + = . Usando a regra da derivada do quociente 2g ´fgg´f´ g f −= e a regra da cadeia na função exponencial, obtemos: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]2 1x41x4 xln x 1exln4e y´ −⋅ = ++ Atividades (grupo 23). 1. Calcule a derivada das funções abaixo: a)
