Transformada de Laplace para Engenharia III

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ANÁLISE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA III
Aula 9: Transformação de Laplace
Apresentação
Nesta aula, apresentaremos a de�nição, a notação de transformada de Laplace. Em seguida, utilizaremos a teoria
aprendida anteriormente nas disciplinas de cálculo para trabalhar com transformada de Laplace. Por �m, trabalharemos
com as transformadas de Laplace para resolver problema de valor inicial.
Objetivos
De�nir a transformada de Laplace;
Resolver problema de valor Inicial.
Pierre-Simon Marquis de Laplace
Pierre-Simon Marquis de Laplace (1749-1827) nasceu na França e era
matemático, físico e astrônomo.
 Fonte: Wikipedia
Pierre-Simon Marquis de Laplace formulou a equação de Laplace, a transformada
de Laplace que recebeu seu nome, e que aparece em vários ramos da Física e da
Matemática. 
A transformada de Laplace também pode ser utilizada na resolução de equações
diferenciais, e é extensamente utilizada em Engenharia elétrica e Engenharia
química.
Ela vem como ferramenta para que obtenhamos a solução de uma equação
diferencial ordinária (EDO) de coe�cientes constantes através da resolução de
uma equação algébrica.
Transformada de Laplace
A transformada de Laplace de uma função f (t) de�nida para todo número real t ≥ 0 é a função F (s),  é uma transformada
integral. Isto é, ela é da forma:
A transformada de Laplace F (s) existe tipicamente para todos os números reais s > a, onde a é uma constante que depende do
comportamento de crescimento de f (t), o que veremos mais à frente detalhadamente.
A função k(s,t) é chamada de núcleo da transformada.
F(s) = k(s, t)f(t)dt.∫
β
α
Atenção
Para trabalharmos com a transformada de Laplace, necessitaremos do conhecimento de integral, principalmente de integral
imprópria. Ambos os conhecimentos foram aprendidos nas disciplinas de cálculo. Começaremos, portanto, de�nindo as
transformadas de Laplace.
javascript:void(0);
De�nição de transformada de Laplace
Seja:
f : [0, +∞) → R
Quando a transformada de Laplace da função 𝑓(𝑡) é denotada e
de�nida pela seguinte equação?
F(s) = f(t)dt∫
0
∞
e−st
Se a integral imprópria converge, pelo menos para algum valor de S.
é o que de�nimos anteriormente como o núcleo da transformada de Laplace.
Notação:
Usaremos a seguinte notação para de�nir as Transformadas de Laplace:
k(s, t) = e−st
F(s) = L{f(t )}
Processo da transformada de Laplace
É importante saber que
também é chamada transformada de Laplace unilateral de 𝑓(𝑡).
A transformada existe se a integral imprópria
converge para algum valor de S.
A �gura a seguir, simboliza o processo da transformada de Laplace:
L{f(t )}= F(s) = f(t)dt∫
0
∞
e−st
f(t)dt∫
0
∞
e−st
Teorema
Se 𝛼 e 𝛽 são constantes, então
para todo 𝑆 tal que as transformadas tanto de  𝑓  quanto de 𝑔 existam. 
L{ αf(t) + βg(t )}= αL{f(t )} +βL{g(t )}
Observe que a transformada de Laplace é uma transformação linear.
Isto é:
L = [f + g] = L[f] +L[g]
L[kf] = kL[f]

Propriedades que já existiam no conteúdo
estudado de Cálculo.
Proposições
Agora vamos lembrar outro conteúdo aprendido na disciplina de Cálculo que também se aplica às transformadas de Laplace.
De�nição
Uma função 𝑓 é contínua por partes em um intervalo [𝛼,𝛽] se o intervalo puder ser particionado em um número �nito de
subintervalos:
Tais que
( , ),α = < <. . . < = βti ti+1 t0 t1 tn
1
𝑓 é contínua em cada subintervalo aberto:
( , )ti ti+1
2
São �nitos os limites laterais, pois existem:
f(t) e f(t), 0 ≤ i ≤ n − 1lim
t→t+i
lim
t→t−i
Uma função é de ordem exponencial [0,∞) em se existem constantes 𝑐 > 0 e 𝑘 tais que |f(t)| ≤ c e , para todo t ϵ (0,∞)⌢Dom .kt f
Exemplo
Veri�que se a função f(t) = cost é de ordem exponencial em [0,∞).
A função f(t) = cost é de ordem exponencial em [0,∞) pois para 𝑐=1 e 𝑘=0 , temos:
|f(t)| = |cost| ≤ c  = 1, ∀t > 0.ekt
Podemos a�rmar que, se a função for contínua por partes e de ordem
exponencial, então a transformada de Laplace estábem de�nida para todos
os valores de 𝒔 maiores do que uma certa constante 𝒌. O teorema que
veremos a seguir formaliza esta ideia.
Teorema (*)
Suponha que: 
𝑓 seja contínua por partes no intervalo [0,𝑥] para qualquer 𝑥 > 0;
Existam c,k,m ϵ ℝ com c > 0, m ≥ 0 tais que |f(t)| ≤ c e quando t ≥ m.
Então, a transformada de Laplace
existe para 𝑠 > 𝑘.
kt
L{f(t )}= F(s) = f(t)dt∫
0
∞
e−st
Corolário: 
Se 𝒇(𝒕) satisfaz as hipótese do teorema anterior, então podemos concluir
que
F(s) = 0lim
s→∞
Teorema:
Se 𝑓 (𝑡) e 𝑔 (𝑡) satisfazem as hipóteses do teorema (∗) 𝑒 𝐹 (𝑠) = 𝐿 { 𝑓 } = 𝐿 {𝑔} = 𝐺 (𝑠) para todo 𝑠 > 𝑎 (para algum a), então, 𝑓 (𝑡) =
𝑔 (𝑡) exceto nos pontos de descontinuidade.
Atenção
Existem funções que não satisfazem o teorema (*) e ainda assim possuem transformadas de Laplace. Veremos mais adiantes
esses casos.
Transformada inversa de Laplace
Sabemos que, quando a equação L{y}=ϕ(s) puder ser resolvida para 𝑦 (𝑡), a solução é essencialmente única.
Esta solução se chama transformada inversa de Laplace da função ϕ(s).
Notação: L {ϕ(s)}
A transformada inversa pode ser vista como um operador linear.
Seja:
Vimos que para
, certo?
Podemos, então, escrever:
De forma mais simples, podemos escrever:
−1
ϕ(s) = (s) + (s)F1 F2
L{ (t) = (s )}f1 F1
L{ (t )}= (s)f2 F2
s > , L{ (t) + (t )}= L{ (t )} +L{ (t )}= ϕs0 f1 f2 f1 f2
(s) + (s )}= { ϕ(s )}= (t) + (t) = (s )} + (s )}L−1{F1 F2 L
−1 f1 f2 L{
−1
F1 L{
−1
F2
L − 1 [ F + G ] = L − 1 [ F ] + L − 1 [ G ] e L − 1 [ k   F ] = k   L − 1 [ F ]
Representação grá�ca da transformada inversa
Podemos simbolizar a transformada inversa pela �gura:
Saiba mais
Para �xar os conteúdos tratados, clique aqui para acessar alguns exercícios.
Teorema do deslocamento
Se L{f(t)}=F(s) existe para s > a e se c ϵ ℝ, então:
A transformada de Laplace da função e f(t) para 𝑠 > 𝑎 + 𝑐 e é dada por L {e f(t)}=F(s-c).
Reciprocamente, se f(t)=L , então: e f(t)=L {F(s-c)}.
Para 𝑠 — 𝑐 > 𝑎, temos:
ct ct
-1 ct -1
F(s− c) = f(t)dt = [ f(t)]dt = L{ f(t )}∫
0
∞
e−(s−c)t ∫
0
∞
e−st e−ct e−ct
O teorema nos diz que uma translação no eixo 𝒔 corresponde a uma
multiplicação da função em 𝒕 por uma exponencial.
javascript:void(0);
Mudança de escala
Se L{f(t)}=F(s) existe para 𝑠 > 𝑎 ≥ 0 e se 𝑐 > 0, então:
A transformada de Laplace da função 𝑓(𝑐𝑡) existe para 𝑠 > 𝑎𝑐 e é dada por
Exemplo
Calcule L{f(t)}, com f(t) = sen 2t.
Como
portanto:
L{f(ct )}= F( )
1
c
s
c
F(s) = L{sen t} = ,s > 0;
1
+ 1s2
L{sen 2t} = F ( ) =   =   = ,s > 0
1
2
s
2
1
2
1
+ 1( )s2
2
1
2
4
+ 4s2
2
+ 4s2
Exemplo
Determine L {G}(s)}, onde
Reescreveremos a função G(s).
Como
Então podemos escrever:
-1
G(s) =
1
− 4s+ 5s2
G(s) = = = .
1
− 4s+ 5s2
1
− 4s+ 4 + 1s2
1
(s− 2 + 1)2
(Esta transformação é idêntica a 𝐿{𝑠𝑒𝑛 2𝑡} feita anteriormente, portanto o aluno deverá fazer como exercido).
F(s) = L{sen t} = ,s > 1
1
+ 1s2
{G(s)} = {F(s− 2)} = sent.L−1 L−1 e2t
Teorema
Caso 1:
Suponha que:
1
𝑓 seja contínua por partes no intervalo [0, 𝑥] para qualquer
𝑥> 0;
2
Existem 𝑐, 𝑘, 𝑚 € 𝑅 com 𝑐 > 0, 𝑚≥0 , tais que |𝑓(t)| ≤ 𝑐 e
quando k≤ m.
kt
Então, a transformada de Laplace da função -t𝑓(t) existe para 𝑠 > 𝑘 e é dada por:
De forma geral, temos:
L{−tf(t)} = L{f(t)} = F(s)
d
ds
d
ds
L{(−t f(t)} = L{f(t)} = F(s))n
dn
dsn
dn
dsn
Essa propriedade é útil para se encontrar uma transformada inversa
quando é mais fácil trabalhar com a derivada da transformada do que
com a própria transformada.
Exemplo
Determine
Observe
Portanto,
Transformação inversa:
Portanto,
{arctg(1/s)}L−1
G(s) + arctg(1/s) e g(s) = {G(s) }.L−1
L{−tg(t)} = G(s) = = − .
d
ds
− 1
s2
1 + 1
s2
1
+ 1s2
−tg(t) = {− } = −sen t.L−1 1
+ 1s2
g(t) = {arctg(1/s)} = (sen t)/t.L−1
Teorema
Caso 2:
Suponha que:
1
𝑓 seja contínua em [0, 𝑥] e que 𝑓’ seja contínua por partes no
intervalo [0, 𝑥] para qualquer 𝑥> 0;
2
Existem 𝑐, 𝑘, 𝑚 € 𝑅 com 𝑐 > 0, 𝑚≥0 , tais que |𝑓(t)| ≤ 𝑐 e
quando t ≤ m.
kt
Então, a transformada de Laplaceda função 𝑓'(t) existe para 𝑠 > 𝑘 e é dada por:
Podemos escrever:
L{ (t)} = sL{f(t)} − f(0) = sF − f(0)f ′
L{ (t)} = sL{ (t)} − (0) = L{f(t)} − sf(0) − (0)f ′′ f ′ f ′ s2 f ′
Este resultado pode ser generalizado para derivadas de ordem
superior. Sua demonstração pode ser encontrada na bibliogra�a.
Teorema
Caso 3:
Suponha que:
1
𝑓, 𝑓', ..., f sejam contínuas em [0, 𝑥] e que f seja
contínua por partes no intervalo [0, 𝑥] para qualquer 𝑥> 0;
(n-1) (n)
2
Existem 𝑐, 𝑘, 𝑚 € 𝑅 com 𝑐 > 0, 𝑚≥0, tais que
quando t ≤ m.
|f(t) ≤ c  , . . . , | (t)| ≤ cekt f ′
, . . . , | (t)| ≤ c ekt f (n−1) ekt
Então, a transformada de Laplace da função 𝑓 (t) existe para 𝑠 > 𝑘 e é dada por:(n)
L{ (t)} = L{f(t)} − f(0) −f (n) sn sn−1
(0)−. . . −s (0) − (0)sn−2f ′ f (n−2) f (n−1)
Exemplo
Determine L{t }
Do teorema, temos:
Portanto,
n
L{ f(t)} = L{n!} = n!L{1} = ,s > 0d
n
dtn
n!
s
L{ f(t)} = L{f(t)} − f(0) − (0) − ⋅ ⋅ ⋅  − s (0) − (0)d
n
dtn
sn sn−1 sn−2f ′ f (n−2) f (n−1)
L{ } = = = ,s > 0tn
L{ f(t)}dn
dtn
sn
n!
s
sn
n!
sn+1
Teorema
Seja:
Então:
Lembre-se:
Portanto:
F(s) = L(f(t))
L( ) = ,  se s > 0.f(x)dx∫ t
0
F(s)
s
Se  g(t) = f(x)dx,  então  (t) = f(t)  (propriedade de integral)∫
0
t
g′
F(s) = L( (t)) = sL(t))g′
Saiba mais
Existem na literatura várias tabelas de transformadas de Laplace. Pesquise, procure conhecê-las para facilitar na resolução de
exercícios desse tema.
Problema de valor inicial
O objetivo agora é aplicar a teoria de transformação de Laplace para resolução de problemas de valor inicial.
Exemplo:
Seja o problema de valor inicial (PVI) dado por:
Temos do teorema estudado que:
Portanto, podemos escrever:
⎧
⎩⎨
− − 6y = 0y ′′ y ′
y(0) = 2
(0) = −1y ′
L{ (t)} =  s L{y(t)} − y(0)y ′
L{ (t)} =    L{y(t)} − sy(0) − (0)y ′ s2 y ′
L{ − − 6y} = L{ (t)} −L{ (t)} − 6L{y(t)} = L{0} = 0y ′′ y ′ y ′′ y ′
L{ − − 6y} = ( − s− 6)L{y(t)} − 2s+ 1 + 2 = 0y ′′ y ′ s2
Y (s) = L{y(t)} =
2s− 3
− s− 6s2
Atividade
Antes de encerrar nossos estudos, vamos fazer uma atividade de reforço. Determine a série de Fourier da função:
f(x) +{
,se 0 < x < πx
π
2 − ,se π < x < 2πx
π
Notas
Referências
BOYCE, William E.; BRENNAN, James R. Equações diferenciais: uma introdução a métodos modernos e suas aplicações. Rio
de Janeiro: LTC, 2008.
DIACU, Florin. Introdução a equações diferenciais: teoria e aplicações.  Rio de Janeiro: LTC, 2004.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1978.
THOMAS, George B. Cálculo – volume 2. Pearson, 2003.
ZILL, Dennis G. Equações diferenciais. Vol. 1. São Paulo: Pearson, 2008.
Próximos passos
Transformada de Laplace.
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