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Modelagem e Controle – ESTA020-17
Lista 1 - Modelagem matemática
Modelagem Matemática
1. Uma cultura de bactérias tem inicialmente x0 bactérias. Em t = 1h, o número de bactérias
é 1, 5x0. Se a taxa de crescimento for proporcional ao número de bactérias presentes no
instante t, determine o tempo necessário para triplicar o número de bactérias nesta cultura.
2. A meia-vida de um elemento radioativo é o tempo necessário para que a metade de uma certa
quantidade inicial deste elemento se transforme em outro elemento. Em 15 anos, verifica-
se que 0, 043% de uma certa quantidade inicial de plutônio-239 se transformou em outro
elemento. Determine a meia-vida do plutônio-239, sabendo que a taxa de transformação é
proporcional à quantidade remanescente.
3. Na década de 1950, o qúımico Willard Libby inventou um método para usar o carbono-
14 radioativo como um meio para determinar a idade aproximada dos fósseis. A teoria de
datação por carbono-14 se baseia no fato de que esse isótopo é produzido na atmosfera
pela ação da radiação cósmica sobre o nitrogênio. A razão da quantidade de carbono-14
em relação ao carbono-12, que é estável, é constante na atmosfera. Assim, a quantidade
proporcional de carbono-14 presente em todos os organismos vivos é a mesma que a da
atmosfera. Quando um organismo morre, cessa a absorção de carbono-14 pela respiração ou
alimentação. Comparando a quantidade proporcional de carbono-14 presente em um fóssil
com a razão constante encontrada na atmosfera, é poss??vel obter uma estimativa razoável
da idade de um fóssil. O método se baseia no fato de que a meia-vida do carbono-14 é de
aproximadamente 5600 anos. Determine a idade de um fóssil que contem um milésimo da
quantidade de carbono-14 original.
4. O sistema mecânico da Figura 1 consiste de duas massas pontuais m1 e m2 influenciadas
por forças de amortecimento viscosas (devido a b e devido aos termos de fricção com coefi-
cientes de amortecimento viscosas b1 e b2), forças das molas (devido aos termos k1, k2 e k)
e forças externas f1(t) e f2(t). As zetas nesta Figura estabelecem a direção positiva para os
deslocamentos x1 e x2. Determine
(a) O diagrama de corpo livre das massas m1 e m2;
(b) A equação diferencial das massas m1 e m2;
(c) Simule no Octave ou no Matlab o sistema da Figura 1 considerando m1 = 1, m2 = 1,
k1 = 1, k = 0, 5, k2 = 1, b1 = 0, 1, b = 0, 1, b2 = 0, 1, f1(t) = f2(t) = 2. Mostre os
gráficos da evolução ao longo do tempo de x1 e x2, bem como mostre os gráficos da
evolução ao longo do tempo de ẋ1 e ẋ2.
Resposta:
ẍ1 = −
k1 + k
m1
x1 −
b1 + b
m1
ẋ1 +
k
m1
x2 +
b
m1
ẋ2 +
1
m1
f1
ẍ2 =
k
m2
x1 +
b
m2
ẋ1 −
k + k2
m2
x2 −
b+ b2
m2
ẋ2 −
1
m2
f2
1
m1 m2b
kk1
f1(t)
x1 x2
k2
f2(t)
b1 b2
Figura 1: Sistema mecânico com duas massas. Figura da Questão 4.
5. Duas massas com atrito viscoso no chão são conectados (coeficientes de atrito b1 e b2) como
mostrado na Figura 2. A força de entrada é u(t) e x e q são as sáıdas. Determine
(a) O diagrama de corpo livre das massas m1 e m2;
(b) A equação diferencial das massas m1 e m2;
(c) Simule no Octave ou no Matlab o sistema da Figura 2 considerando m1 = 1, m2 = 1,
k1 = 0, 5, k2 = 1, b1 = 0, 1, b2 = 0, 1, u(t) = 2. Mostre os gráficos da evolução ao longo
do tempo de x e q, bem como mostre os gráficos da evolução ao longo do tempo de ẋ
e q̇.
m1 m2b
k1
u(t)
x q
k2
b1 b2
Força de
entrada
Figura 2: Dois carros com atrito viscoso. Figura da Questão 5.
Resposta:
ẍ = − k1
m1
x− b1 + b
m1
ẋ+
k1
m1
q +
b
m1
q̇ +
1
m1
u
q̈ =
k1
m2
x+
b
m2
ẋ− k1 + k2
m2
q − b+ b2
m2
q̇
6. Considere o circuito elétrico apresentado na Figura 3, linear e invariante no tempo, onde
L é a indutância do indutor, R1 e R2 são a resistências do resistores e C1 e C2 são as
capacitâncias dos capacitores. A entrada v(t) é a diferença de potencial elétrico aplicado no
2
circuito conforme Figura 3. A sáıda vC2(t) do sistema é a diferença de potencial elétrico nos
terminais do capacitor C2.
(a) Deduza as equações diferenciais lineares que modelam este sistema.
(b) Simule no Octave ou no Matlab o sistema da Figura 3 considerando R1 = 1 KΩ,
R2 = 1 KΩ, L = 22 mH, C1 = 100 µF, C2 = 100 µF, u(t) = sin(t). Mostre os gráficos
da evolução ao longo do tempo de vC1 , vC2 e i2.
−
+
v(t)
+ −R1
+
−
C1
VC1 + −R2
+
−
L
VC2
+
−
C2
Figura 3: Sistema elétrico. Figura da Questão 6.
Resposta:
v̇c1 = −
1
R1C1
vC1 −
1
C1
i2 +
1
R1C1
v
v̇C2 =
i2
C2
di2
dt
=
1
L
vC1 −
1
L
vC2 −
R2
L
i2
7. Considere o circuito elétrico apresentado na Figura 4, linear e invariante no tempo, onde L
é a indutância do indutor, R1 e R2 são a resistências dos resistores e C é a capacitância do
capacitor. A entrada v(t) é a diferença de potencial elétrico aplicado no circuito conforme
Figura 4. A sáıda vC(t) do sistema é a diferença de potencial elétrico nos terminais do
capacitor C.
(a) Deduza a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea que modela este
sistema.
(b) Simule no Octave ou no Matlab o sistema da Figura 4 considerando R1 = 1 KΩ, R2 = 1
KΩ, L = 22 mH, C = 100 µF, v(t) = sin(5 t). Mostre os gráficos da evolução ao longo
do tempo de vC e v̇C .
Resposta:
v̈C +
(
R1
L
+
1
R2C
)
v̇C +
(
R1 +R2
R2LC
)
vC =
1
LC
v(t)
8. Considere o circuito elétrico apresentado na Figura 5, linear e invariante no tempo, onde L
é a indutância do indutor, R é a resistência do resistor e C é a capacitância do capacitor.
A entrada v(t) é a diferença de potencial elétrico aplicado no circuito conforme Figura 5. A
sáıda do sistema é a corrente através do resistor R, iR.
3
−
+
v(t)
i1
+ −R1 + −L
i2
+
−
R2
i3
VC
+
−
C
Figura 4: Sistema elétrico. Figura da Questão 7.
(a) Deduza as equações diferenciais lineares que modelam este sistema.
(b) Simule no Octave ou no Matlab o sistema da Figura 5 considerando R = 1 KΩ, L = 22
mH, C = 100 µF, v(t) = sin(t). Mostre os gráficos da evolução ao longo do tempo de
vC e iL.
−
+
v(t)
iL
+ −L
iR
+
−
R
iC
+
−
C
Figura 5: Sistema elétrico. Figura da Questão 8.
Resposta:
v̇C = −
1
RC
vC +
1
C
iL
diL
dt
= − 1
L
vC +
1
L
v
iR =
1
R
vC
9. Considere o circuito elétrico apresentado na Figura 6, linear e invariante no tempo, onde L
é a indutância do indutor, R é a resistência do resistor e C1 e C2 são as capacitâncias dos
4
capacitorrs. A entrada vi(t) é a diferença de potencial elétrico aplicado no circuito conforme
Figura 6. A sáıda do sistema é a tensão no capacitor C2, v0(t).
(a) Deduza as equações diferenciais lineares que modelam este sistema.
(b) Simule no Octave ou no Matlab o sistema da Figura 6 considerando R = 1 KΩ, L = 22
mH, C1 = 100 µF, C2 = 10 µF, v(t) = cos(t). Mostre os gráficos da evolução ao longo
do tempo de vC1 , vC2 e iL.
−
+
vi(t)
+ −
C1
+
−
L
+ −R
VC2
+
−
C2
Figura 6: Sistema elétrico. Figura da Questão 9.
Resposta:
v̇C1 = −
1
RC1
vC1 +
1
C1
iL −
1
RC1
vC2 +
1
RC1
vi
diL
dt
= − 1
L
vC1 +
1
L
vi
v̇C2 = −
1
RC2
vC1 −
1
RC2
vC2 +
1
RC2
vi
10. No circuito elétrico apresentado na Figura 7, considere as variáveis de estado x1(t) = vC(t) e
x2(t) = iL, a tensão no capacitor e a corrente através do indutor, respectivamente. A tensão
v(t) é a variável de controle e a corrente i é a sáıda do sistema.
(a) Deduza as equações diferenciais lineares que modelam este sistema.
(b) Simule no Octave ou no Matlab o sistema da Figura 7 considerando R1 = 1 KΩ, R2 = 1
KΩ, L = 22 mH, C = 100 µF, v(t) = cos(t). Mostre os gráficos da evolução ao longo
do tempo de vC e iL.
Resposta:
v̇C = −
vC
R1C
+
v
R1C
d iL
dt
= −R2
L
iL +
v
L
i = −vC
R1
+ iL +
v
R1
5
−
+
v(t)
i
+
−
C
+
−
R1
VC
+
−
R2
iL
+
−
L
Figura 7: Sistema elétrico. Figura da Questão 10.
11. Considere o circuito elétrico apresentado na Figura 8, linear e invariante no tempo, onde L
é a indutânciado indutor, R é a resistência do resistor e C é a capacitância do capacitor.
A entrada i(t) é a fonte de corrente na Figura 8. A sáıda vC(t) do sistema é a diferença de
potencial elétrico nos terminais do capacitor C.
(a) Deduza a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea que modela este
sistema.
(b) Simule no Octave ou no Matlab o sistema da Figura 8 considerando R = 1 KΩ, L = 22
mH, C = 100 µF, i(t) = sin(t). Mostre os gráficos da evolução ao longo do tempo de
vC e v̇C .
i1
+
−
VRi(t)
i2
+
−
VL
i3
+
−
VC
Figura 8: Sistema elétrico. Figura da Questão 11.
Resposta:
v̈C +
1
RC
v̇C +
1
LC
vC =
1
C
di(t)
dt
6
12. Para o sistema mecânico indicado na Figura 9, onde u1 e u2 são as entradas e y1 e y2 são as
sáıdas, determine:
(a) O diagrama de corpo livre das massas m1 e m2;
(b) A equação diferencial das massas m1 e m2;
(c) O diagrama de blocos do sistema mecânico.
(d) Simule no Octave ou no Matlab o sistema da Figura 9 considerando m1 = 1, m2 = 1,
k1 = 0, 5, k2 = 1, b1 = 0, 1, u1(t) = sin(t), u2(t) = cos(t). Mostre os gráficos da
evolução ao longo do tempo de y1 e y2.
m1
m2
b1
k1
y1(t)
u1(t)
k2
u2(t)
y2(t)
Figura 9: Sistema mecânico. Figura da Questão 12.
Resposta:
ÿ1 = −
k1
m1
y1 −
b1
m1
ẏ1 +
b1
m1
ẏ2 +
1
m1
u1
ÿ2 =
b1
m2
ẏ1 −
k2
m2
y2 −
b1
m2
ẏ2 +
1
m2
u2
13. Para o sistema mecânico indicado na Figura 10, onde u é a entrada e x1 e x2 são as sáıdas,
determine
(a) O diagrama de corpo livre das massas m1 e m2;
(b) A equação diferencial das massas m1 e m2;
(c) Simule no Octave ou no Matlab o sistema da Figura 10 considerando m1 = 1, m2 = 1,
k1 = 1, k2 = 1, k3 = 0, 5, b1 = b2 = 0, 2, b = 0, 1, u(t) = sin(t). Mostre os gráficos da
evolução ao longo do tempo de x1 e x2.
Resposta:
ẍ1 = −
k1 + k3
m1
x1 −
b1 + b
m1
ẋ1 +
k3
m1
x2 +
1
m1
u1
ẍ2 =
k3
m2
x1 −
k2 + k3
m2
x2 −
b+ b2
m2
ẋ2
7
m1 m2
k3
k1
b1
u(t)
x1 x2
k2
b2
b b
Figura 10: Sistema mecânico. Figura da Questão 13.
14. Para o sistema mecânico indicado na Figura 11, onde u é a entrada e x é a sáıda, determine
(a) O diagrama de corpo livre da massa m;
(b) A equação diferencial da massa m;
(c) Simule no Octave ou no Matlab o sistema da Figura 11 considerando m = 1, k = 1,
b = 0, 1, u(t) = sin(t). Mostre os gráficos da evolução ao longo do tempo de x e ẋ.
m
k
bu(t)
x
Figura 11: Sistema mecânico. Figura da Questão 14.
Resposta:
ẍ = − k
m
x− b
m
ẋ+
1
m
u
15. O sistema rotacional indicado na Figura 12 consiste de duas massas com momentos de inércia
J1 e J2, duas molas com constante elástica K1 e K2 e três elementos de dissipação com atrito
viscoso com coeficientes B1, B2 e B, e dois torques externos aplicados T1 e T2.
8
(a) O diagrama de corpo livre das massas com inercias J1 e J2;
(b) A equação diferencial das massas com inercias J1 e J2;
(c) Simule no Octave ou no Matlab o sistema da Figura 12 considerando J1 = 1, J2 = 1,
K1 = 1, K2 = 1, B = B1 = B2 = 0, 2, T1(t) = sin(t), T2(t) = cos(t). Mostre os gráficos
da evolução ao longo do tempo de θ1 e θ2.
Figura 12: Sistema rotacional. Figura da Questão 15.
Resposta:
θ̈1 = −
K1
J1
θ1 −
B1 +B
J1
θ̇1 +
B
J1
θ̇2 +
1
J1
T1
θ̈2 =
B
J2
θ̇1 −
K2
J2
θ2 −
B +B2
J2
θ̇2 −
1
J2
T2
16. Considere o sistema de pêndulo de mola com carga indicado na Figura 13. Suponha que a
ação da força da mola sobre o pêndulo seja zero quando o pêndulo está na posição vertical
ou θ = 0. Suponha também que o atrito envolvido seja despreśıvel e o ângulo de oscilação θ
seja pequeno. Determine
(a) O modelo matemático do sistema;
(b) Simule no Octave ou no Matlab o sistema da Figura 13 considerando k = 1, a = 0, 5,
l = 1. Mostre os gráficos da evolução ao longo do tempo de θ e θ̇.
Resposta:
ml θ̈ = −2 k a2θ −mg l θ, aproximando sin θ ≈ θ para valores pequenos de θ.
17. Desafio. Para o sistema mecânico indicado na Figura 14, onde m1, m2 e m3 são as massas,
determine
(a) O diagrama de corpo livre das massas m1, m2 e m3;
(b) A equação diferencial das massas m1, m2 e m3;
9
kk
mg
θ
a
l
Figura 13: Sistema de pêndulo de mola com carga. Figura da Questão 16.
x2
x1
k1 k4
k5
m1 m3
m2
x3
k3
b3
k2
b5
Figura 14: Sistema mecânico. Figura da Questão 17.
18. Desafio. Considere o sistema Figura 15. Determine
(a) O modelo matemático do sistema;
10
Articulação
f
a b c
k1
m1
xd
xc
xa
xb
k2
m4
m2
Figura 15: Sistema mecânico. Figura da Questão 18.
19. Desafio. Para o sistema mecânico indicado na Figura 16, onde M1 e M2 são as massas; y1 e y2
são as sáıdas do sistema e representam o deslocamento da massas M1 e M2, respectivamente;
KS1 e KS2 são as constantes elásticas das molas; Kd é o coeficiente de atrito viscoso entre
M1 e M2, determine
(a) O diagrama de corpo livre das massas M1 e M2;
(b) A equação diferencial das massas M1 e M2;
11
KS2
KS1
Kd
M2
y1
y2
M1
Figura 16: Sistema mecânico. Figura da Questão 19.
Dica: Deve-se tomar em consideração a força da gravidade. Não existe atrito de rolamento
entre a massa M1 e as paredes.
Prinćıpios De Controle Automático: Controle De Malha Aberta E
De Malha Fechada
1. Entrada e Sáıda
(a) Identifique a entrada e a sáıda para uma máquina automática de lavar.
(b) Identifique os componentes entrada e sáıda e descreva a operação de um sistema de
controle biológico, consistindo num ser humano que tenta apanhar um objeto.
(c) Identifique a entrada e a sáıda para uma estufa elétrica com regulação automática de
temperatura.
(d) Identifique a entrada e a sáıda de um refrigerador automático.
(e) Identifique uma entrada e a sáıda para uma máquina elétrica e automática de café. É
este sistema de malha aberta ou malha fechada?
2. Os sistemas seguintes podem ser descritos por um diagrama de blocos mostrando a relação
cauda-efeito e a retroação (se presente). Identifique a função de cada bloco e a variável de
entrada desejada, a variável de sáıda e a variável medida. Use a Figura 17 como modelo
onde for apropriado.
12
−
+ erro
Controlador Atuador Processo
Sensor
Saida
desejada
Saida
real
RetroacaoSaida medida
Figura 17: Diagrama de blocos de um sistema com retroação negativa descrevendo um sistema
de controle básico a malha fechada.
(a) Suponha que se tem um tanque de lavar roupa. O tanque tem uma entrada para água,
um seletor para encher ou esvaziar a água do tanque, um temporizador de 3, 6, 12 e 15
minutos. Descreva com suas palavras como seria o processo de lavar e enxugar a roupa
neste tanque não automático. É este sistema de malha aberta ou malha fechada? Se
fosse um sistema de malha fechada, quem ou que fecha essa malha? Observação: O
lava roupa não tem compartimento para sabão nem para amaciante.
(b) Um motorista de automóvel usa um sistema de controle para manter a velocidade do
carro em um ńıvel preestabelecido. Esboce um diagrama de blocos para ilustrar este
sistema com retroação.
(c) Descreva o diagrama de blocos do sistema de controle de velocidade de uma motocicleta
com um motorista humano.
(d) Descreva o diagrama de blocos de uma pessoa jogando no video game.
(e) Um exemplo comum de sistema de controle com duas entradas é o chuveiro doméstico
com válvulas separadas para água quente e fria. O objetivo é obter (1) a temperatura
desejada da água do chuveiro e (2) um fluxo de água desejado. Esboce um diagrama
de blocos do sistema de controle a malha fechada.
(f) Explique como uma máquina automática de lavar de malha fechada pode operar. Supo-
nha que todas as quantidades descritas como entradas posśıveis a saber: ciclo, tempo,
volume de água, temperatura de água, quantidade de detergente, quantidade de bran-
queador, podem ser ajustados por dispositivos tais como válvulas e aquecedores.
(g) O processo de aprendizagem professor-estudante é basicamente um processo de retro-
ação que busca reduzir o erro do sistema a um mı́nimo. Com ajuda da Figura18,
construa um modelo com retroação do processo de aprendizagem e identifique cada
bloco do sistema.
Controlador
Sensor
Comparador
r u ye
Planta
Figura 18: Sistema de controle de malha fechada.
(h) Modelos de sistemas de controle fisiológicos são ajudas valiosas para a profissão médica.
13
Determine um modelo de sistema de controle do braço humano. Identifique a planta,
o controlador e o sensor, bem como a entrada e a sáıda.
(i) Um sistema de controle é constituido pela programação industrial do ritmo de produção
e o ńıvel de inventário. O ńıvel do inventário real, que é a sáıda do sistema, se compara
com o ńıvel de inventário desejado, que pode variar de acordo com o mercado. Se surge
qualquer diferença entre o ńıvel de inventário real e o desejado, o ritmo de produção se
ajusta de maneira que a sáıda sempre se iguale ou esteja perto do valor desejado, que
se escolhe para maximizar o lucro. Descreva o diagrama de blocos desse sistema. Este
sistema é de malha fechada ou aberta?
3. Defina o que é um sistema.
4. Defina o que é um distúrbio ou perturbação.
5. Qual a diferença entre um sistema cont́ınuo e discreto?
6. Que é o que caracteriza um sistema invariante no tempo?
7. Qual é a classificação dos sistemas segundo a linearidade? Explique com suas próprias
palavras o prinćıpio de superposição.
8. Qual é a caracteŕıstica importante das não linearidades suaves? e qual é a caracteŕıstica
importante das não linearidades duras?
9. Defina o que é uma planta e o que é um processo.
10. Defina o que é a variável controlada, variável de controle e variável de referência?
11. Defina o que é o elemento primário, o transmissor e o elemento final de controle.
12. Que significa retroação ou realimentação na teoria de controle?
13. Enumere cinco caracteŕısticas dos sistemas de controle de malha aberta e cinco caracteŕısticas
dos sistemas de controle de malha fechada.
14. Os sistemas de controle em malha fechada são divididos em dois classes: (i) Sistema regula-
dor, e (ii) Servomecanismo. Defina cada classe.
Estabilidade de sistemas não lineares
1. O modelo predador-presa de Lotka-Volterra tem as seguintes equações diferenciais não-
lineares:
dx
dt
= −ax+ bxy = x(−a+ by)
dy
dt
= dy − cxy = y(d− cx)
(1)
onde a = 0.16, b = 0, 08, c = 0, 09 e d0, 45 são constante positivas. Determine os pontos de
equiĺıbrio do sistema e demonstre se são centro, sela, foco ou no.
2. Considere o modelo com competição definido por:
ẋ = x
(
1 − 0, 1x− 0, 05y
)
ẏ = y
(
1, 7 − 0, 1y − 0, 15x
)
onde as populações x(t) e y(t) são medidas em ilhares e t em anos. Determine os pontos
de equiĺıbrio e classifique-los. Resolva as equações diferenciais numericamente e analise a
população por um longo peŕıodo para cada um dos seguintes casos:
14
(a) x(0) = 1, y(0) = 1
(b) x(0) = 4, y(0) = 10
(c) x(0) = 9, y(0) = 4
(d) x(0) = 5, 5, y(0) = 3, 5
3. Considere o seguinte modelo:
ẋ = rx
(
1 − x
K
)
− s x y
1 + sτx
ẏ = −cy + d s x y
1 + sτx
onde r, K, s, τ , c, d são constante positivas. Determine os pontos de equiĺıbrio e classifique-
los.
15