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Cap%C3%ADtulo-2

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para todo x ∈ A temos 
que o valor f(x) ∈ B. A função RAgof →: definida por (gof)(x) = g(f(x)) é denominada função 
composta de g e f.
 
- Exemplos:
1. Sejam f e g funções dadas por f(x) = 3x – 2 e g(x) = x2 + 4x. Determinar as funções gof e fog.
Temos: 
D(f) = R; Im(f) = R; D(g) = R; Im(g) = [-4, ∞).
Im(f) ⊂ D(g) ⇒ gof(x) = g(f(x)) = g(3x – 2) = (3x – 2)2 + 4 (3x – 2) = 9x2 – 4 e D(gof) = D(f) = R.
Im(g) ⊂ D(f) ⇒ fog(x) = f(g(x)) = f(x2 + 4x) = 3(x2 + 4x) – 2 = 3x2 + 12x – 2 e D(fog) = D(g) = R.
Logo: 2123)(por dada : e 49)(por definida : 22 −+=→−=→ xxxfogRRfogxxgofRRgof .
2. Sejam f e g funções dadas por 2)( e )( xxgxxf == . Determinar as funções gof e fog.
Temos: 
D(f) = R+; Im(f) = R+; D(g) = R; Im(g) = R+.
Im(f) ⊂ D(g) ⇒ gof(x) = g(f(x)) = g( x ) = ( x )2 = x = x, pois D(gof) = D(f) = R+.
Im(g) ⊂ D(f) ⇒ fog(x) = f(g(x)) = f(x2) = xx =2 , pois D(fog) = D(g) = R.
Logo: xxfogRRfogxxgofRRgof =→=→+ )(por dada : e )(por definida : .
- Observações:
1. A função h: R → R definida por h(x) = (x2 – 1)10 pode ser considerada como a composta gof das 
funções f: R → R dada por f(x) = x2 – 1 e g: R → R definida por g(x) = x10 .
2. O livro texto contempla a possibilidade de definir a composta gof, sendo Im(f) ⊄ D(g). Neste caso, 
{ })()();()( gDxffDxgofD ∈∈= . 
Por exemplo: xxgxxf =−= )( e 32)( . Temos:
16
D(f) = R; Im(f) = R; D(g) = [0, +∞); Im(g) = [0, +∞).
Im(f) ⊄ D(g) ⇒ { } { } 


+ ∞=≥−∈=∈∈=−= ,
2
3032;)()();()( e 32)( xRxgDxffDxgofDxxgof .
Im(g) ⊂ D(f) ⇒ [ )+ ∞==−= ,0)()( e 32)( gDfogDxxfog .
 
 
2.4- Exercícios
Páginas 20, 21, 22, 23 e 24 do livro texto. 
2.5- Funções Especiais
 Função Constante
 fixo real número um sendo ,)(por definida : kkxfRRf =→
 D(f) = R e Im(f) = {k}
 Exemplo: 3)( ;: −=→ xfRRf 
 
 Função Identidade
 )(por definida : xxfRRf =→ (Notação: f = idR)
 D(f) = R e Im(f) = R 
 
 Função do 1º Grau
 0 a e reais números b e a sendo ,)(por definida : ≠+=→ baxxfRRf
 D(f) = R e Im(f) = R
 Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e de 
coeficiente linear.
 Quando a > 0, a função f(x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que x cresce, f(x) 
também cresce.
 Quando a < 0, a função f(x) = ax + b é decrescente, isto é, à medida que x cresce, f(x) 
decresce.
 O gráfico da função f(x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coordenados.
 Exemplos:
a) f(x) = 2x + 3 é uma função do 1º grau crescente pois a = 2 > 0.
b) f(x) = – 3x + 1 é uma função do 1º grau decrescente pois a = – 3 < 0. 
17
 
 Função Módulo
 )(por definida : xxfRRf =→
 D(f) = R e Im(f) = [0, +∞)
 
 Função Quadrática ou Função do 2º Grau
 0 a e reais números c e b a, sendo ,)(por definida : 2 ≠++=→ cbxaxxfRRf
 D(f) = R
 O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo 
vertical (y).
 Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.
 Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo.
 A interseção da parábola com o eixo horizontal (x) define os zeros da função.
 , então )( quadrática função da zeros os são e Se 21
2
21 a
bxxScbxaxxfxx −=+=++= 
 ).)(()( )( e . 21
2
21 xxxxaPSxxaxfa
cxxP −−=+−===
 A interseção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice, de 
coordenadas 

 ∆−−
aa
b
4
,
2
, sendo acb 42 −=∆ .
 Dada uma função quadrática )( 2 cbxaxxf ++= , usando a técnica de completar os 
quadrados, podemos escrevê-la na forma ( ) vv yxxaxf +−= 2)( , sendo ( )vv yx , o vértice 
da parábola. Neste caso, o eixo de simetria é dado por x = xv.
 
18
 
 
 
 Função Polinomial
função.
dagrau o determina que negativo não inteiro um e 0, es,coeficient chamados reais números
 , , ... , , , sendo , x ... )(por definida : 121001
2
2
1
1
na
aaaaaaxaaxaxaxfRRf
n
nn
n
n
n
n
≠
+++++=→
−
−
−
 D(f) = R
 Exemplos:
a) A função constante f(x) = k é uma função polinomial de grau zero.
b) A função f(x) = ax + b, a ≠ 0, é uma função polinomial do 1º grau (grau 1).
c) A função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, é uma função polinomial do 2º grau 
(grau 2).
d) A função f(x) = x3 é uma função polinomial de grau 3 chamada função cúbica.
 
e) A função f(x) = x4 – 1 é uma função polinomial de grau 4. 
 
 
 
 
 Função Racional
Uma função racional f é uma função dada por )(
)()(
xq
xpxf = , onde p e q são funções 
polinomiais.
19
 { }0)( ;)( ≠∈= xqRxfD 
 Exemplos:
a) A função 
1
1)(
+
−
=
x
xxf é racional de domínio { }1)( −−= RfD .
 
b) A função 
( ) ( )
( ) ( )3.12
9.43)( 2
22
+−+
−−+
=
xxx
xxxxf é racional de domínio { }3,3,4)( −−−= RfD .
 
2.6- Função Par e Função Ímpar
Uma função RAf →: diz-se par quando para todo Ax ∈ tem-se Ax ∈− e )()( xfxf =− .
 O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y.
 Exemplo: 2)( ;: xxfRRf =→
Uma função RAf →: diz-se ímpar quando para todo Ax ∈ tem-se Ax ∈− e )()( xfxf −=−
.
 O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
 Exemplo: 53)( ;: xxxfRRf +=→
2.7- Funções Periódicas
Uma função RAf →: é dita periódica quando existe um número real p > 0 tal que para todo 
Ax ∈ tem-se Apx ∈± e )()( xfpxf =+ .
 O menor número p com esta propriedade é chamado o período de f.
 O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento p.
 Exemplos: xxgsenxxf cos)( e )( == são periódicas de período 2pi.
20
2.8- Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Dizemos que uma função BAf →: é injetora quando, para quaisquer 
)()( se- tem, com , 212121 xfxfxxAxx ≠≠∈ . Em outras palavras, dizemos que BAf →: é injetora 
se 212121 então , em e com , )()( xxAxxxfxf == . 
 
 Exemplo: injetora. é )(por definida : xxfRRf =→+
Dizemos que uma função BAf →: é sobrejetora quando, para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que 
y = f(x). Em outros termos, BAf →: é sobrejetora quando Im(f) = B. 
 
 Exemplo: a.sobrejetor é )(por definida : 2xxfRRf =→ +
Dizemos que uma função BAf →: é bijetora quando é injetora e sobrejetora.
 
 Exemplo: bijetora. é )(por definida : 3xxfRRf =→
2.9- Função Inversa de uma Função Bijetora
Seja BAf →: uma função bijetora. Sendo f sobrejetora, Im(f) = B, o que significa dizer que 
para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A tal que f(x) = y, e esse x é único porque f é injetora. 
Podemos, então, definir uma função ABg →: que a y ∈ B associa o único x ∈ A tal que f(x) = y, ou 
seja, yxfxyg =⇔= )( )( .
Se BAf →: é uma função bijetora, a função ABg →: definida por yxfxyg =⇔= )( )( 
denomina-se função inversa da função f e denotada por 1−f .
 
 
 AxidxyfxffAAidoff AA ∈∀===→= −−− (x),)())(( pois ,: 111
 ByyidyxfyffBBidfof BB ∈∀===→= −− ),()())(( pois ,: 11
 Graficamente podemos determinar se uma função f admite inversa passando retas paralelas 
ao eixo x por pontos do contradomínio de f; cada uma dessas retas deve cortar o gráfico de 
f em apenas um ponto.
 Os gráficos da função bijetora BAf →: e de sua inversa ABf →− :1 são simétricos