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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas • Dada a EDO homogênea , com e ; calcule .y" - 2y' + y = 0 y 0 = - 3( ) y' 0 = 3( ) y 3( ) Resolução: Vamos encontrar a solução homogênea y ; essa solução tem equação genérica do tipo;H y = y x = C ⋅ 𝜚 + C ⋅ 𝜚H h( ) 1 𝜆´x 2 𝜆"x ou y = y x = C ⋅ 𝜚 + C ⋅ x𝜚 caso as raízes 𝜆' e 𝜆" sejam iguais H h( ) 1 𝜆´x 2 𝜆"x ( ) A EDO tem equação caracteristica 𝜆 - 2𝜆+ 1 = 0 equação do 2ª grau2 ( ) com : 𝜆 = y", y' = 𝜆 e 1 é um termo independente, veja que isso é uma equação do2 2° grau, resolvendo : 𝜆' = = 1 - -2 + 2 ⋅ 1 ( ) -2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1( )2 ( ) 𝜆" = = 1 - -2 - 2 ⋅ 1 ( ) -2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1( )2 ( ) Substituindo 𝜆´ e 𝜆" e considerando que 𝜆' = 𝜆"; y = C ⋅ e + C ⋅ xe y = C ⋅ e + C ⋅ xeHomogênea 1 1x 2 1x → Homogênea 1 x 2 x Primeiro, substituimos y 0 = - 3 na solução encontrada;( ) y 0 = C ⋅ e + C ⋅ 0 ⋅ e = - 3 C ⋅ 1 + 0 = - 3 C = - 3( ) 1 0 2 0 → 1 → 1 Agora, vamos substituir C na solução econtrada e derivar;1 y = - 3 ⋅ e + C ⋅ xe y' = - 3e + C e + C e xH x 2 x → H x 2 x 2 x y' = - 3e + C e + C e x→ H x 2 x 2 x Substituindo y' 0 = 3, fica;( ) y' 0 = - 3e + C e + C e ⋅ 0 = 3 y' 0 = - 3e + C e + 0 = 3 -3 + C ⋅ 1 + 0 = 3( ) 0 2 0 2 0 → ( ) 0 2 0 → 2 C = 3 + 3 C = 6→ 2 → 2 Com isso, a solução homogênea fica : y = - 3 ⋅ e + 6 ⋅ xe y = - 3e + 6xeHomogênea x x → H x x Finalmente, encontramos y 3 ;( ) y 3 = - 3e + 6 ⋅ 3e y 3 = - 3e + 18e( ) 3 3 → ( ) 3 3 y 3 = 15e( ) 3 (Resposta )
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