trabalho_02a

Prévia do material em texto

Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Curitiba 
Departamento Acadêmico de Matemática 
Prof: Lauro César Galvão Cálculo Numérico 
Não é necessário entregar esta lista. Serve apenas como preparação 
para a Segunda Parcial 
 
 
 
 
Segunda Lista de Exercícios de Cálculo Numérico 
 
 
Exercícios sobre Interpolação Polinomial, Ajuste de Curvas (Método dos 
Mínimos Quadrados), Integração Numérica e Solução Numérica de 
Equações Diferenciais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curitiba – PARANÁ 
Cálculo Numérico Segunda Lista de Exercícios 
Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (CEFET-PR) LAURO / NUNES 
2 
Exercício 1 Supondo que a velocidade do som na água varia com a temperatura de acordo 
com a tabela abaixo, determinar, utilizando um polinômio interpolador de Lagrange, um valor 
aproximado para a velocidade do som na água em uma temperatura de C0100 . 
Temperatura ( 0 C) 86,0 93,3 98,9 104,4 110,0 
Velocidade ( sm / ) 1552 1548 1544 1538 1532 
 
Resolução: O polinômio de Lagrange procurado será do tipo: 
=)(xP4 )()()()()( 4433221100 xfLxfLxfLxfLxfL ++++ , onde: 
 
iL ( x )=Õ
¹
= -
-n
ij
j ji
j
xx
xx
0 )(
)(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: =)(1004P ................................................. 
Cálculo Numérico Segunda Lista de Exercícios 
Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (CEFET-PR) LAURO / NUNES 
3 
Exercício 2 Dada a tabela que segue e utilizando o polinômio interpolador de Newton, 
obtenha um polinômio do quarto grau )(xP4 , escolhendo adequadamente os pontos, para 
calcular sin (53o). 
0x ( x graus) 0 15 30 45 60 75 90 
xsin 0 0,25882 0,5 0,70711 0,86603 0,96593 1,0 
 
Resolução: A tabela de diferenças divididas é a seguinte: 
 
 Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4 
0 0 
 
15 0,25882 
 
30 0,5 
 
45 0,70711 
 
60 0,86603 
 
75 0,96593 
 
90 1,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: =)(534P ................................................. 
Cálculo Numérico Segunda Lista de Exercícios 
Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (CEFET-PR) LAURO / NUNES 
4 
Exercício 3 Um objeto foi lançado verticalmente do alto de um prédio. Sua altura foi 
registrada a cada segundo após o lançamento e os dados obtidos encontram-se na tabela 
abaixo. 
Altura ( m ) 192 180 150 115 72 
Tempo ( s ) 1 2 3 4 5 
 Utilize o método dos mínimos quadrados para estimar a altura h do prédio, a 
velocidade inicial 0v de lançamento e o valor da aceleração da gravidade g , sabendo que 
essas três grandezas são relacionadas por: 200 2
t
g
tvhth ++=)( . 
Resolução: Fazendo: 10 a=h , 20 a=v , 32
a=
g
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: =0h ............................. , =0v ............................. e =g ............................. 
Cálculo Numérico Segunda Lista de Exercícios 
Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (CEFET-PR) LAURO / NUNES 
5 
Exercício 4 Aproximar a função )sin()( xxf = por uma função 221 xxxg a+a=)( no 
intervalo I =[0,2]. Empregar a regra de Simpson com 4 subintervalos (2 n =4) para determinar 
os produtos internos do vetor dos termos independentes. 
 
Resolução: g ( x )= 1a 1g ( x )+ 2a 2g ( x )= 1a + 2a
2x , isto é, =)(xg1 x e 
2
2 xxg =)( . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: =)(xg ................................................. 
 
Cálculo Numérico Segunda Lista de Exercícios 
Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (CEFET-PR) LAURO / NUNES 
6 
Exercício 5 Sabendo-se que a dependência funcional entre a carga Q de um condensador 
e o tempo t é do tipo tQ ×a×a= 2101 , determinar os parâmetros 1a e 2a a partir da tabela: 
)(st 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 
Q (Coulomb) 4,78 3,97 3,30 2,75 2,29 1,9 
 
 
Resolução: tQ ×a×a= 2101 Þ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: =Q ................................................. 
Cálculo Numérico Segunda Lista de Exercícios 
Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (CEFET-PR) LAURO / NUNES 
7 
Exercício 6 Calcule dxxx )cos(ò
p
2
0
2 empregando o método dos trapézios e precisão 110- . 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: dxxx )cos(ò
p
2
0
2 » ................................................. 
Cálculo Numérico Segunda Lista de Exercícios 
Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (CEFET-PR) LAURO / NUNES 
8 
Exercício 7 Calcule ò
3
2
dxx)ln( empregando o método de Simpson com quatro repetições 
(2n = 8). Faça uma estimativa do erro cometido na integração numérica. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: ò
3
2
dxx)ln( » ................................................. e =SRE ................................................. 
 
Exercício 8 Empregando o método de Simpson, calcule o trabalho W realizado por um gás 
sendo aquecido segundo a tabela abaixo. Lembre que ò=
f
i
V
V
PdVW . 
)( 3mV 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 
)/( 2mKgP 80 72 64 53 44 31 22 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: »W ................................................. 
Cálculo Numérico Segunda Lista de Exercícios 
Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (CEFET-PR) LAURO / NUNES 
9 
Exercício 9 Seja a equação diferencial ordinária yxxy
dx
d
+=)( com condição inicial 
10 =)(y . Considere o intervalo de integração igual [0,4]. Solucione a equação diferencial pelo 
método de Euler (Passo Simples de ordem 1) com passos h =1, h =0,5 e h =0,25. Sabendo 
que a solução exata da equação diferencial é 12 --= xexy x)( , compare os resultados 
obtidos em cada uma das integrações com os valores obtidos com a solução exata. 
 
Resolução: ),( llll yxfhyy ×+=+1 , =l 0, 1, 2, ¼ , ( 1-m ) 
 
Para h =1: 
l lx ly llll yxyxf +=),( 12 --= l
x
l xexy l)( Erro= ll yxy -)( 
0 0 1 
1 
2 
3 
4 
 
Para h =0,5: 
l lx ly llll yxyxf +=),( 12 --= l
x
l xexy l)( Erro= ll yxy -)( 
0 0 1 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
 
Para h =0,25: 
l lx ly llll yxyxf +=),( 12 --= l
x
l xexy l)( Erro= ll yxy -)( 
0 0 1 
1 
2 
3 
4 
Cálculo Numérico Segunda Lista de Exercícios 
Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (CEFET-PR) LAURO / NUNES 
10 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
 
Exercício 10 Seja a equação diferencial ordinária yxxy
dx
d
+=)( com condição inicial 
10 =)(y . Considere o intervalo de integração igual [0,4]. Soluc ione a equação diferencial pelo 
método de Runge-Kutta de ordem 2 com passo h =0,5. Sabendo que a solução exata da 
equação diferencial é 12 --= xexy x)( , compare os resultados obtidos em cada uma das 
integrações com os valores obtidos com a solução exata. 
 
Resolução: )( 211 2
KK
h
yy ll ++=+ , =l 0, 1, 2, ¼ , 1-m 
 
),( ll yxfK =1 e ),( 12 KhyhxfK ll ×++= 
 
l lx ly 1K 2K 12 --= l
x
l xexy l)( Erro= ll yxy -)( 
0 0 1,0000 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8