TOMADA DE DECISÕES EM PRODUÇÃO

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE- UNICENTRO 
SETOR DE CIENCIAS SOCIAIS APLICADAS- SESA 
CURSO BACHARELADO EM ADMINISTRAÇÃO 
 
 
AMANDA BÁRBARA DE SOUZA 
 
 
 
 
 
 
 
TOMADA DE DECISÕES EM PRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
CHOPINZINHO 
2021 
AMANDA BÁRBARA DE SOUZA 
 
 
 
 
 
O PROCESSO DE TOMADA DE DECISÃO NA PRODUÇÃO 
 
 
 
 
Trabalho acadêmico realizado na 
disciplina de Administração da 
produção 1, do curso de 
Administração, da Universidade 
Estadual do Centro Oeste do 
Paraná, Campus Chopinzinho. 
Objetivando a compreensão do 
processo de tomada de decisão na 
produção, sendo utilizado como 
nota semestral. 
 
 
 
 
 
 
 
CHOPINZINHO 
2021 
DESENVOLVIMENTO 
1.0 Pesquisa Operacional 
 O termo Pesquisa Operacional, possui distintas interpretações e conceitos 
atribuídos. Mas de um modo geral, todos seguem uma mesma linha de raciocínio, pois 
a maioria prioriza o planejamento de operações. Afim de prever possíveis erros e 
acertos, para assim decidir o melhor método para aplicar na organização. Ambos os 
conceitos foram retirados do livro “Pesquisa Operacional” de ARENALES, 
ARMENTANO, MORABITO e YANASSE. Sendo eles: 
 “Consiste no desenvolvimento de métodos científicos de sistemas complexos, afim de prever 
e comparar estratégias ou decisões alternativas, tendo como objetivo a oferta de suporte à definição 
de políticas e determinações de ação de modo cientifico” 
 “Abordagem cientifica para tomada de decisão, que procura determinar como melhor projetar 
e operar um sistema, usualmente sob condições que requerem a alocação de recursos escassos. ” 
 A pesquisa operacional, se tornou relevante e necessária, uma vez que, 
durante a segunda guerra mundial, foi necessário realizar pesquisas para estabelecer 
as melhores estratégias para atingir um bom desempenho evitando desperdícios de 
recursos, objetivando vencer o inimigo. 
 Sendo assim, para as organizações, a pesquisa operacional é indispensável, 
afim de diminuir desperdícios, tanto de recursos, tanto de tempo desperdiçado, 
causadas pela falta ou inexistência de planejamento. 
 Em consulta as demais obras disponibilizadas, entende- se que a pesquisa 
operacional se sobressaiu durante a segunda guerra mundial, estando diretamente 
ligado a invenção do radar na Inglaterra em 1934, que após dois anos os ingleses 
criaram uma estação de pesquisa afim de, estudar como o radar poderia ser usado 
para interceptar aviões inimigos. 
 Em 1941, foi inaugurada a seção de pesquisa operacional do comando da força 
aérea de combate, com equipes envolvidas em problemas de operações de guerra. 
Onde se estudava qual seria o melhor avião para determinada missão. Por exemplo, 
operando desse modo, foi possível ter o controle do desempenho durante as 
diferentes missões realizadas. 
 Após o fim da segunda guerra, a pesquisa operacional, deu uma alavancada e 
evolui rapidamente na Inglaterra e nos Estado Unidos. Após 1947, ocorreu a criação 
de projetos, sociedades cientificas e conferencias. Neste meio tempo, termos novos 
foram criados e atribuído, como o método simplex. Também, foi aplicada em diferentes 
Nichos, como o setor público e privado, e também foi relacionado com programação 
matemática. 
 No Brasil, a pesquisa operacional iniciou na década de 60, onde o primeiro 
simpósio foi realizado em 1968 no ITA, logo em seguida foi fundada uma sociedade 
brasileira de pesquisa operacional, a partir disso a pesquisa operacional se destacou 
e se tornou cada vez mais relevante para as organizações. 
 
2. Programação Linear 
 “Técnica de otimização bastante utilizada na resolução de problemas que 
tenham seus modelos representados por expressões lineares” - Apostila do professor 
Otoniel Marcelino de Medeiros. 
 “Programação Linear usa modelo matemático para descrever o problema em questão. O 
adjetivo linear significa que todas as funções matemáticas nesse modelo são necessariamente funções 
lineares. A palavra programação refere- se a planejamento de atividades para obter resultado ótimo, 
que atinja o melhor objetivo especificado entre todas as alternativas viáveis” - Introdução a 
pesquisa operacional de HILLIER e LIEBERMAN. 
 Entende-se que a programação linear, é uma técnica utilizada na pesquisa 
operacional, isto é a programação linear é capaz de representar características de um 
problema em forma de conjunto de equações lineares, onde as equações são simples 
e de baixa complexidade. 
 É relevante na pesquisa operacional devido a sua capacidade de transformar 
seus problemas em linguagem matemática. Sendo assim, se torna possível a 
minimização de custos, maximização dos lucros, maximização do faturamento e 
outros mais problemas existentes. Permitindo acréscimo da eficiência dos sistemas 
produtivos. 
 Em pesquisa ao Google Acadêmico, percebe- se que a aplicabilidade da 
programação linear é muita vasta, uma vez que há estudos que enfatizam a aplicação 
da programação linear em diferentes nichos, como por exemplo, em problemas 
agrícolas e indústrias moveleiras e demais industrias. Sendo assim, é perceptível que 
seja um método democrático, o qual consegue ter um bom desempenho em diferentes 
nichos. 
 Para melhor exemplificar, o artigo “Aplicação da programação linear na 
otimização do agronegócio” desenvolvido por Matheus Moreira dos Santos e Darlan 
Marques da Silva. Aborda a programação linear, onde é realizada a aplicação da 
programação linear em uma determinada propriedade, sendo utilizada a ferramenta 
@Solver, onde foi possível reduzir os custos a cada litro de leite em 6 centavos. 
 No desenvolver do artigo, é notável que foi realizada a análise da dieta dos 
animais, contabilizando a quantidade necessária, afim de estabelecer o valor gasto 
por dia. E por fim, analisar e estabelecer a dieta com melhor custo e benefício, 
mantendo a qualidade do leite, mas reduzindo os custos. 
 
2.1 Modelagens de problemas em Programação Linear 
 A modelagem de problemas em programação linear, trata- se da construção de 
um modelo que represente a situação que se quer estudar ou resolver. Pode- se dizer, 
que é a tradução dos problemas para a linguagem matemática, como abordado 
brevemente no tópico anterior. 
 Para executar a modelagem do problema na programação linear, segundo 
FOGLIATTO, é necessário seguir alguns passos, sendo: 
1) Identificação das variáveis desconhecidas a serem determinadas, as 
conhecidas, variáveis de decisão, representando- as com expressões 
algébricas; 
2) Enumeração das restrições do problema, expressando- as com equações 
(=) ou inequações (≤ ≥), lineares em relação as variáveis de decisão 
definidas anteriormente; 
3) Identificação do objetivo/ critério de otimização do problema, sendo 
representada por uma função linear das variáveis de decisão. O objetivo 
pode ser a maximização e/ou minimização, por exemplo; 
 
 Já para LIBERMAN e HILLIER, são necessários os seguintes passos: 
1) Definição do problema de interesse e coleta de dados; 
2) Desenvolvimento de um modelo matemático para representar o problema; 
3) Desenvolvimento de um procedimento computacional; 
4) Testes do modelo e possíveis aprimoramentos; 
5) Preparação para a aplicação continua do modelo; 
6) Implementação. 
 Apesar dos diferentes pontos de vistas, ambas buscam identificar os problemas 
e tentar soluciona-lo a partir da análise das variáveis, que são devidamente 
transformadas em equações matemáticas, permitindo maior exatidão nos resultados 
e diminuindo possíveis erros. Possibilitando assim, a organização alcançar o objetivo 
almejado. 
 
2.2 Resoluções de problemas mediante o método gráfico. 
 Problemas mais simples, ou menos complexos, podem ser solucionados a 
partir do método gráfico. O qual permite a resolução simplificada quando o problema 
possui apenas 2 variáveis, a partir de 3 variáveis, o método gráfico pode ficar 
complexo e difícil de realiza-lo. 
 Paraaplicar o método gráfico, é necessário possuir a formulação matemática 
do problema e também a resolução. Deste modo, identifica- se as duas variáveis X1 
e X2. Para o melhor entendimento, seguem exemplificações, que além de abordar o 
método gráfico, irá abordar os tópicos anteriores: 
 Exemplo 01- “Pesquisa operacional” de Ermes Medeiros da Silva, Elio Medeiros 
da Silva, Valter Gonçalves e Afrânio Carlos Murolo. 
Representar graficamente a solução do sistema 
X2 + 3X2 ≤ 12 
2X1 + X2 ≥ 16 
X1 ≥ 0 
X2 ≥ 0 
 
Solução: 
X2 + 3X2 = 12 
Se X1 = 0, então 0 + 3 * X2 = 12. Portanto, X2 = 12/3 ou X2 = 4. 
Se X2 = 0, então X1 + 3 * 0 = 12. Portanto, X1 = 12 
 
2X1 + X2 = 16 
Se X1 = 0, então 2 * 0 + X2 = 16. Portanto, X2 = 16 
Se X2 = 0, então 2 * X1 + 0 = 16. Portanto, X1 = 16/2 ou X1 = 8. 
 
 Restrições de não negatividade X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0, representam o primeiro 
quadrante do gráfico de soluções. 
Figura 01- Gráfico de representação 
 
 Agora é preciso testar para cada reta qual a região que corresponde a solução 
de inequação, para isso escolhe um ponto fora das retas, neste caso o ponto (8,16). 
 X1 + 3X2 ≤ 12; substituindo X1 = 8, X2 = 16, obtém- se: 8 + 3 * 16 ≤ 12 ou 56 ≤ 
12; Desigualdade Falsa, região oposta. 
 2X1 + X2 ≥ 16; substituindo X1 = 8, X2 = 16, obtém- se 2 * 8 + 16 ≥ 16, ou 32 ≥ 
16; Desigualdade verdadeira. 
 A região de soluções aparece sombreada no gráfico. 
 
 Exemplo 02: (Adaptado de LAWRENCE e PASTERNACK, 2002), retirado do 
livro “Introdução a pesquisa operacional” de Fernando Augusto Silva Martins. 
Uma empresa fabrica dois tipos de brinquedos B1 e B2, que utilizam dois recursos: 
Plástico (até 1.000,00 kg disponíveis) e horas de produção (até 40 horas disponíveis). 
Considerando que, o departamento de Marketing colocou algumas restrições, como, 
a não fabricação de mais de 700 dúzias do total de ambos os brinquedos, sendo que, 
o número de dúzias produzidas do B1 não deve exceder em 350 o número de dúzias 
do Brinquedo B2. 
 Considerando também, as informações fornecidas pela manufatura, sendo: 
Cada dúzia de B1 utiliza 2 kg de plástico e 3 minutos de produção → Lucro 8,00/ dúzia. 
Cada dúzia de B2 utiliza 1 kg de plástica e 4 minutos de produção → Lucro 5,00/ dúzia. 
Objetivo: determinar a quantidade a ser produzida de cada brinquedo buscando 
maximizar o lucro total da semana. 
Modelagem: 
→Variáveis de decisão: X1 – Quantidade a serem fabricadas semanalmente do B1; 
→ Lucro semanal: Max 8X1 + 5X2; 
Sujeito a: 
→Equações lineares: 
2X1 + 1X2 ≤ 1000 → Plástico 
3X1 + 4X2 ≤ 2400 → Tempo de produção- Minutos 
X1 +X2 ≤ 700 → Produção total 
X1 - X2 ≤ 350 → MI 
X1 ≥ 0, J = 1,2 → Não Negatividade 
Figura 02: Gráfico de Representação 
 
 A figura 2, representa o resultado das intersecções de todas as restrições, 
compondo a região viável. É entendível que há 03 tipos de soluções viáveis: Pontos 
na fronteira (nos segmentos da reta) e pontos que são vértices (intersecção dos 
segmentos de reta). 
 Com a primeira etapa concluída, segue –se para a segunda etapa, a qual 
consiste em encontrar uma ótima solução. Sendo assim, deve- se atribuir um valor 
qualquer para a equação 8X1 + 5X2. Neste exemplo, usa- se 2.000,00, após atribuir o 
valor, deve-se traçar uma reta. 
8X1 + 5X2 = 2.000,00 
Figura 03: Gráfico de Representação 
 
 Verifica- se para qual sentido a reta segue, se for em direção a região viável, 
deve-se pesquisar na família das retas paralelas à reta arbitrada, há melhoria no valor 
da função objetivo. Isso pode ser feito comparando- se o valor arbitrado, 2.000,00, 
com o valor da função objetivo obtido (X1 = 0, X2 = 0), ou seja, compara- se com uma 
reta paralela que passa pela origem do sistema de coordenas. Neste caso, possui o 
valor = 0, ou seja, menor que 2.000. 
 Pretende- se achar o valor máximo para a função objetivo, sendo assim, deve-
se procurar por uma reta paralela à reta 8X1 + 5X2 = 2.000,00, que esteja mais 
afastada da origem, conforme a figura 03. A qual indica para qual lado deve-se 
procurar a reta paralela, de modo, que haja melhoria do valor da função objetivo e 
ainda corte a região viável. 
 O ponto da Região Viável (X*1, X*2), tangenciado pela reta será a solução 
ótima, com X*1, sendo a quantidade ótima, em dúzias, a ser fabricada semanalmente 
do brinquedo B1 e o valor da função objetivo será o lucro total semanal ótimo. 
Conforme, a figura acima ilustra, onde obtém-se 4.360,00, sendo esse o lucro ótimo, 
X*1 = 320 e X*2 = 360. 
 
2.3 Método Simplex 
 Segundo Cardoso (2011), o método simplex é uma técnica que utiliza 
expressões matemáticas para proporcionar a solução exata de qualquer problema de 
programação linear. Esse procedimento é constituído de parâmetros específicos para 
seleção das soluções que beneficiem a performance de um modelo e de um teste de 
otimização. Com ele, é possível determinar se o problema possui solução limita, 
infinitas soluções ou não tem solução. Essas propriedades viabilizam sua implantação 
em programas rápidos e eficientes, permitindo a resolução de problemas com 
centenas de variáveis de decisão. 
 Método Simplex, foi criado pelo americano, George Dantizig em 1947, 
proporcionando economia de bilhões de dólares para a indústria e o governo 
americano. 
 Entende- se que o Método Simplex, é um procedimento iterativo (repetitivo) que 
busca fornecer soluções para qualquer modelo de programação linear, em um número 
finito de iterações. Indicando também, se o modelo possui solução ilimitada, se não 
possui solução, ou se possui infinitas soluções, como já abordado. 
 Para aplicar o método simplex, é necessário seguir duas etapas, sendo elas: 
Primeira etapa: identificação de uma solução ótima. 
Segunda etapa: Obtenção de solução básica viável, melhor que a atual. 
 Para melhor entender o método e sua aplicação, segue um exemplo, com 
passo a passo e explicação: 
Exemplo retirado do livro “Pesquisa Operacional” de Cesar Duarte Souto- Maior. 
Max Z= X1 + 2X2 + 3X3 
X1 + X2 + X3 ≤ 60 
X1 + 2X2 + 2X3 ≤ 110 
X1 + X2 + 2X3 ≤ 90 
X1 ≥ 0 
X1 ≥ 0 
X1 ≥ 0 
 Simplex, utiliza conceitos de resolução de sistemas de equações lineares, 
sendo assim, utiliza o sinal de igualdade (=), e nas equações citadas acima, é utilizado 
o modelo de inequações (≥; ≤). 
 Deste modo, é necessário transformar as inequações em equações. Fazendo 
uso de variáveis auxiliares, folgas. Uma folga para cada restrição, ≥; ≤, ficando da 
seguinte forma: 
X1 + X2 + X3 + Fa = 60. 
X1 + 2X2 + 2X3 + Fb = 60 
X1 + X2 + 2X3 + Fc = 90 
 Após a aplicação das folgas, é necessário formular uma tabela com as 
restrições. 
 
2.3.1 Método Tabular 
 Método tabular ou tableau, registra apenas as informações essenciais, sendo 
coeficientes das variáveis, constantes dos lados direitos das equações, variável 
básica que aparece em cada equação. 
 Para melhor entendimento, será dado continuidade ao exemplo iniciado no 
Método solver, uma vez que o método tabular contribui com o método Solver. 
 Segue tabela formulada com as restrições: 
Tabela 01 
 Variáveis 
X1 X2 X3 Fa Fb Fc b 
Restrição A 1 1 1 1 60 
Restrição B 1 2 2 1 110 
Restrição C 1 1 2 1 90 
Objetivo 1 2 3 0 
 
 Após a elaboração da tabela, representada na tabela 01, é necessário zerar 
três variáveis e encontrar o valor das outras três, a fim de encontrar a solução inicial, 
resultando em X1 = x2 = x3 = 0 
Tabela 02 
 Variáveis 
X1 X2 X3 Fa Fb Fc b 
Restrição A 1 1 1 1 0 0 60 
Restrição B 1 2 2 0 1 0 110 
Restrição C 1 1 2 0 0 1 90 
Objetivo 1 2 3 0 0 0 0 
 
 A tabela acima, apresenta a solução 1, mostrando as três variáveis que será 
necessário encontrar o valor. Sendo, Fa = 60, Fb = 110 e Fc = 90. 
Logo, a solução 01, será: 
X1 = 0 
X2 = 0 
X3 = 0 
Fa = 60 
Fb = 110 
Fc = 90 
Z = 0 
 Agora, é necessário analisar os valores da última linha, identificar se são 
positivos ou negativos, nesse caso são positivos,significando assim que se uma das 
variáveis for considerada, o valor de Z se elevara. Neste caso, como o objetivo é 
maximizar, é interessante que uma das variáveis seja considerada, deve- se 
considerar a que possui o maior valor positivo, ou seja, X3. 
 Após isso, é necessário anular uma das variáveis, afim de manter 3 equações 
e 3 variáveis. O processo de anulação de variáveis, consiste no cálculo de quociente, 
entre a coluna b pelo respectivo coeficiente da variável que está entrando. O quociente 
de menor valor positivo, indica a variável que será anulada e substituída. No exemplo 
utilizado, Fc sai da solução, entrando a variável X3. 
Tabela 03 
 Variáveis 
Quociente X1 X2 X3 Fa Fb Fc B 
Restrição A 1 1 1 1 0 0 60 60/1 = 60 
Restrição B 1 2 2 0 1 0 110 110/2 = 55 
Restrição C 1 1 2 0 0 1 90 90/2 = 45 
Objetivo 1 2 3 0 0 0 0 
 Elemento Pivô 
 Agora, é preciso transformar os coeficientes da matriz formada pelas variáveis 
escolhidas em algo parecido com a matriz identidade. Sendo assim, é realizado o 
cruzamento entre a coluna da variável que entrou, x3, com a linha de menor quociente, 
indicando o elemento pivô, conforme tabela acima. 
Agora é necessário realizar operações com as linhas da tabela para zerar os 
elementos acima e abaixo do elemento pivô. Afim de facilitar o procedimento, 
transforma-se o elemento pivô no número. 
Nova linha 3= (linha 3) / 2 
Tabela 04 
 Variáveis 
X1 X2 X3 Fa Fb Fc b 
Restrição A 1 1 1 1 0 0 60 
Restrição B 1 2 2 0 1 0 110 
Restrição C 1/2 1/2 1 0 0 ½ 45 
Objetivo 1 2 3 0 0 0 0 
 Toda a linha foi dividida por 2. 
Agora, é preciso realizar as seguintes operações: 
Nova linha 1 = linha 1 – linha 3 
Nova linha 2 = linha 2 – 2 * (linha 3) 
Nova linha 4 = linha 4 – 3 * (linha 3) 
Solução: 
Tabela 05 
 Variáveis 
X1 X2 X3 Fa Fb Fc b 
Restrição A ½ 1/2 0 1 0 -1/2 15 
Restrição B 0 1 0 0 1 -1 20 
Restrição C 1/2 1/2 1 0 0 ½ 45 
Objetivo -1/2 1/2 0 0 0 -3/2 -135 
 
X1 = 0 
X2 = 0 
X3 = 45 
Fa = 15 
Fb= 20 
Fc = 0 
Z = 135 
 Afim de possuir certeza de que a solução é ótima. Deve- se analisar os valores 
que estão embaixo de X1 e Fc, são negativos, se uma dessas variáveis for 
considerada o valor de Z diminuirá. Porém, o valor abaixo de X2 é positivo, 
significando que se essa variável for considerada, o valor de Z aumentara. Como o 
objetivo é a maximização, deve-se considerar a variável positiva. 
 Após isso, é necessário anular uma das variáveis, afim de manter 3 equações 
e 3 variáveis. O processo de anulação de variáveis, consiste no cálculo de quociente, 
entre a coluna b pelo respectivo coeficiente da variável que está entrando. O quociente 
de menor valor positivo, indica a variável que será anulada e substituída. No exemplo 
utilizado, Fb sai da solução, entrando a variável X2. 
Tabela 06 
 Variáveis 
Quociente X1 X2 X3 Fa Fb Fc B 
Restrição A ½ ½ 0 1 0 -1/2 15 15/(1/2) = 30 
Restrição B 0 1 0 0 1 -1 20 20/1 = 20 
Restrição C ½ ½ 1 0 0 ½ 45 45/(1/2) = 90 
Objetivo -1/2 1/2 0 0 0 -3/2 -135 
 Elemento Pivô 
 Deste modo, anula-se as variáveis X, Fb e Fc, considerando apenas X2, x3 e 
Fa. 
 Agora, é preciso transformar os coeficientes da matriz formada pelas variáveis 
escolhidas em algo parecido com a matriz identidade. Sendo assim, é realizado o 
cruzamento entre a coluna da variável que entrou, x2, com a linha de menor quociente, 
indicando o elemento pivô, conforme tabela acima. 
 Para finalizar, é preciso realizar as seguintes operações: 
Nova linha 1 = linha 1 – (1/2) * (linha 2) 
Nova linha 3 = linha 3 – (1/2) * (linha 2) 
Nova linha 4 = linha 4 – (1/2) * (linha2) 
 Solução 03: 
Tabela 07 
 Variáveis 
X1 X2 X3 Fa Fb Fc b 
Restrição A ½ 0 0 1 -1/2 0 5 
Restrição B 0 1 0 0 1 -1 20 
Restrição C 1/2 0 1 0 -1/2 1 35 
Objetivo -1/2 0 0 0 -1/2 -1 -145 
 
X1 = 0 
X2 = 20 
X3 = 35 
Fa = 5 
Fb= 0 
Fc= 0 
Z= 145 
 A solução 03, é a solução ótima, uma vez que, os valores embaixo de x1, Fb e 
Fc são negativos, significando assim que, se uma dessas variáveis for considerada o 
valor de Z diminuirá, como o objetivo é a maximização, não tem como ser obtida uma 
solução melhor. 
 
2.3.2 Método Solver 
 De acordo com Silveira, Lavratti e Benito (2004), um forte instrumento para os 
sistemas de Programação Linear, que simplifica e reduz o tempo necessário pelo 
Simplex, foi criado para ser usado em planilhas eletrônicas. Refere-se ao Solver, um 
suplemento disponível para Microsoft Excel, Louts 1-2-3 e Quattro Pro. Segundo seu 
fabricante, Frontline Systems, Inc. (2004), o programa busca o melhor caminho para 
a destinação de recursos escassos. A definição da quantia a ser produzida pela 
empresa e o local para onde irão enviar seus produtos pode ser feita por meio da 
utilização do Solver. 
 Em outras palavras, o método solver é um Modulo do Excel que possibilita de 
forma rápida e simples, possuir soluções para problemas de programação linear. O 
qual, utiliza- se do método simplex para encontrar a solução ótima. 
 Para melhor entendimento segue exemplo de utilização do método solver, 
retirado do artigo “Aplicação de programação linear para determinação de quantidade 
produtiva ótima: um estudo de caso realizado em um microeemprendimento doceiro” 
produzido por Ícaro Guilherme Félix da Cunha, Laís Fortes Baeta, Rayane Moreira, 
Aline Gabriela da Silva Barbosa, Ana Luiza Cordeiro Pereira. 
 Quantidade disponível mensal dos ingredientes: 
24,49 KG de leite condensado; 
6 Kg de biscoito maisena; 
1 kg de margarina; 
5,6 kg de achocolatado; 
2 kg de açúcar refinado; 
5 kg de chocolate granulado; 
 Variáveis de decisão: 
X1= quantidade produzida de brigadeiro; 
X2= quantidade produzida de palha italiana; 
 
Função Objetivo: Max L = 1,5 x1 + 3x2 
Restrição de tempo: -0,03 x1 + 0,05 x2 ≤ 60 
Restrição de ingredientes: 
Leite condensado: 0,01316 + 0,02633 ≤ 24,49; 
Biscoito maisena: 0,01333𝑥2 ≤ 6; 
Margarina: 0,0004 + 0,0008 ≤ 1; 
Achocolatado: 0,0028 + 0,0056 ≤ 5,6; 
Açúcar Refinado: 0,003 ≤ 2; 
Chocolate Granulado: 0,0043𝑥1 ≤ 5. 
Restrição de negatividade: -x1, x2 ≥ 0 
 Após a coleta dos dados, foi efetuada a identificação das variáveis de 
decisão, da função objetivo e das restrições. Tais dados foram inseridos no Excel, e, 
posteriormente, utilizados pela ferramenta solver para a solução dos mesmos. 
Figura 04: Tabela representativa 
 
 Ao analisar os dados obtidos acima, é evidente que o lucro total máximo mensal 
em que se pode chegar é de R$ 2761,015642. Em relação aos produtos fabricados, 
conclui-se que para alcançar o objetivo pretendido, é necessária a venda mensal de, 
aproximadamente 1163 unidades de brigadeiro (X1) e 348 unidades de palha italiana 
(X2). 
 O resultado se aproxima do esperado, que é um volume maior de venda 
de brigadeiros, uma vez que, atualmente, a demanda mensal relatada pela doceira é 
em média, 960 unidades de brigadeiro e 440 unidades de palha italiana. Em relação 
às restrições do problema, a Figura 05 apresenta os respectivos resultados. 
 
Figura 05: Tabela- Relatório de Respostas Solver 
 
 A coluna Status analisa se o recurso é escasso (associação) ou não escasso 
(não associação). Os recursos com “Margem de Atraso” igual a zero não apresentam 
sobras, (que é o caso do Leite Condensado e do Chocolate Granulado) e, por 
consequência, são escassos. Já os recursos que apresentam um valor diferente de 
zero, revelam com esses valores, a quantidade de sobra do mesmo, sendo assim, não 
escasso, o que é observado nos demais ingredientes. 
 
2.4 Analise de Sensibilidade 
 A análise de sensibilidade é realizada a partir da análise dos dados do primeiro 
e do último tableau. Visando identificar os parâmetros sensíveis, aqueles que não 
podem ser alterados sem alterar a solução ótima. Quando houver apenas duas 
variáveis, é possível analisar graficamente. 
 Para melhor entendimento, continuaremos o exemplo abordado no método 
solver, ondeapresenta um relatório de sensibilidade: 
Figura 06: Tabela-Relatório de sensibilidade. 
 
 Examinando a coluna “Permitido Aumentar” e “Permitido Reduzir”, conclui-se 
que o recurso escasso “Leite Condensado” pode aumentar em até 1,8 unidades e, 
reduzir em até 9,1 unidades sem alterar a função objetivo. Por sua vez, o “Chocolate 
Granulado”, pode aumentar em até 3 unidades e, reduzir em até 0,8 unidades sem 
alterar a solução ótima. Podemos notar com essa análise, que o leite condensado 
possui um maior decréscimo e o chocolate granulado, um maior acréscimo. Se tais 
recursos ultrapassarem os limites impostos, o lucro sofrerá alterações. A coluna 
“Sombra Preço”, revela a quantidade que um aumento ou redução da compra de uma 
unidade dos recursos impactaria na solução ótima, a partir do momento que o recurso 
deixasse de ser escasso. Nota-se então, que a aquisição de leite condensado 
influenciaria consideravelmente no lucro. 
 
2.5 Dualidades em Programação linear 
 Todo problema de programação linear possui um outro problema associado a 
ele, chamado dual, o qual é composto de variáveis distintas, mas que guarda estreita 
relação com o primeiro quanto à solução e à interpretação dos resultados. 
 As relações entre um problema de PL e seu problema dual podem revelar-se 
extremamente úteis em inúmeras situações. Talvez a maior utilidade das relações 
existentes entre um problema primal e seu dual resida na possibilidade de uso dessas 
relações em demonstrações de lemas, corolários e teoremas da Programação Linear. 
 Para melhor entendimento segue exemplo: 
 Exemplo retirado do livro “Pesquisa Operacional” de Antônio César Baleeiro 
Alves e Marco Antônio Figueiredo Menezes. 
Primal- minimizar Z = CT X 
 Sujeito a: AX ≥ B 
 X ≥ 0 
Dual maximizar W = BT Y 
 AT Y ≤ C 
 Y ≥ 0 
 Para os dois problemas os dados, são representados pela matriz A e pelos 
vetores C e B, possuindo dimensões MxN, Nx1 e Mx1, sendo M< N 
Minimizar Z = 4X1 + 3X2 
Sujeito a: 2X1 + X2 ≥ 3 
X1 + X2 ≥ 2 
X1, X2 ≥ 0 
 Como é desejável obter o correspondente do problema dual. É possível obter 
o problema dual de imediato, pois o primal está escrito de forma canônica, sendo o 
dual: 
Maximizar W = 3Y1 + 2Y2 
Sujeito a: 2Y1 + Y2 ≤ 4 
 Y1 + Y2 ≤ 3 
 Y1, Y2 ≥ 0 
 A maior utilidade das relações existentes entre um problema primal e seu dual 
resida na possibilidade de uso dessas relações em demonstrações de lemas, 
corolários e teoremas da Programação Linear. Apesar de demonstrações serem 
essenciais tanto na proposição de novas teorias quanto no desenvolvimento de novos 
métodos de solução, os desenvolvimentos e desdobramentos teóricos serão omitidos, 
tendo em vista a proposta deste texto. As relações mais conhecidas entre os 
problemas (PC) e (DC) dizem respeito às suas funções objetivo. 
 
3. Software Tora 
 Afim de compreender os conteúdos abordados, foi solicitado a formulação de 
um exercício, baseando-se nos exemplos abordados no decorrer da formulação do 
trabalho. 
 O exercício formulado, retrata o caso de uma madeireira que deseja obter 1250 
kg de lenha, 2150 kg de madeira para móveis e 70 m2 de casca de arvore. A 
madeireira, utiliza as madeiras de Jatobá e Pinheiro. Sendo que, a jatobá produz 50 
kg de lenha, 170 kg de madeira para móveis e 5m2 de casca aproveitável. Já o 
pinheiro, produz 100 kg de lenha, 80 kg de madeira para moveis e 9m2 de casca 
aproveitável. A madeireira possui o objetivo de minimizar os custos, sendo que, cada 
jatobá custa 1750 e cada pinheiro custa 1500. 
 Lenha M. Moveis Casca 
Jatobá (R$ 1.750,00) 50 Kg 170 kg 5m2 
Pinheiro (R$ 1.500,00) 100 kg 80 kg 9m2 
Objetivo 1250 kg 2150 kg 70m2 
 Aplicando no software TORA: 
Figura 07: Captura Software- Problema 
 
 
Figura 08: Captura Software- Problema 
 
 Em seguida é construída uma tabela da fase 1. 
 
Figura 09: Captura Software- Tabela 01
 
 A variável “P7” sai, entrando assim, a variável “P1”. 
 
Figura 10: Captura Software- Calculos tabela 02 
 
 
Figura 11: Captura Software- Cálculos tabela 02 
 
 
Figura 12: Captura Software- Tabela 02 
 
 A variável “P8” sai, entrando assim, a variável “P2”. 
 
Figura 13: Captura Software- Calculos tabela 03
 
 
Figura 14: Captura Software- Calculos tabela 03 
 
 
Figura 15: Captura Software- Tabela 03
 
 A variável “P6” sai da base, para que a variável “P5”, entre. 
 
Figura 16: Captura Software- Calculos tabela 04 
 
 
Figura 17: Captura Software- Calculos tabela 04
 
 
Figura 18: Captura Software- Tabela 04 
 
 Existe alguma solução possivel para o problema. Deste modo passa para a 
Fase 2 para calcular. 
Figura 19: Captura Software- Calculos tabela 01- fase 2 
 
 
Figura 20: Captura Software- Tabela 01- Fase 2 
 
 
 
 
 
Figura 21: Captura Software- Solução otima 
 
 
Figura 22: Captura Software- Representação Gráfica 
 
 
Figura 23: Captura Software- Legenda em forma de tabela para Representação Gráfica.
 
 A solução ótima, na representação gráfica é o ponto C, pois está na área viável, 
área na cor verde. Idem, pelo cruzamento da reta C, com outras retas. A solução se 
confirma com os cálculos realizados acima pelo método Simplex, o qual utilizou- se 
do método tabular. 
 
Conclusão 
 
 Contudo, compreende-se que a pesquisa operacional, é de extrema relevância 
para as organizações, uma vez que visa diminuir desperdícios de recursos escassos 
e melhor aproveitamento dos recursos disponíveis e principalmente, do tempo. A partir 
da utilização de técnicas e métodos que auxiliam a pesquisa. 
 Englobando diferentes métodos, como a programação linear, que é 
democrática, e permite a aplicabilidade em diversos nichos de segmento e níveis de 
complexidade. Possui ainda outros métodos, como o método gráfico, método simplex, 
método tabular e método solver. Os quais, permitem uma análise capaz de contribuir 
nas tomadas de decisões dentro da organização, reduzindo o número de erros e 
desperdícios desnecessário. Pois, buscam apresentar a solução ótima, a qual deve 
ser seguida para possui um bom desempenho e alcançar os objetivos com eficiência. 
 
 
 
 
 
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https://drive.google.com/drive/folders/16927w8isMqNTOiKdf82mHY3029riuyT8ALVES, Antônio Cesar Baleeiro; MENEZES, Marco Antônio Figueiredo. Introdução a 
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