7605ce78-13e1-4348-8ff1-8e021a6540f3

Prévia do material em texto

ÁLGEBRA LINEAR
André Ricardo Rocha da Silva
Matrizes elementares 
e fatoração LU
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir matrizes elementares e suas propriedades.
 � Relacionar matrizes elementares com a inversão de matrizes.
 � Resolver um sistema linear a partir da fatoração LU.
Introdução
Os sistemas de equações lineares são conjuntos de equações lineares 
que envolvem muitas variáveis. A representação matricial desses sistemas 
possibilita encontrar uma única solução por meio da matriz inversa dos 
coeficientes do sistema.
Por outro lado, quando o sistema de equações lineares em questão é 
grande, o método de obtenção da solução para ele pode ser por meio da 
fatoração de matrizes, recomenda para situações que envolvem muitos 
cálculos, por ser um método direto e rápido. 
Neste capítulo, você aprenderá a obter a matriz inversa e relacioná-la 
a um sistema de equações lineares, bem como desenvolver e aplicar a 
fatoração LU para a solução de um sistema de equações lineares.
Matrizes elementares
Um importante método para resolver um sistema de equações lineares é en-
contrar um sistema equivalente mais simples que se possa resolver e contenha 
o mesmo conjunto de soluções do sistema original. Felizmente, isso não é 
apenas possível para muitos casos como é facilitado pelo uso das matrizes. 
Isso porque os sistemas de equações lineares podem ser representados pelas 
matrizes — cada equação é uma linha de uma matriz —, de modo que qualquer 
operação algébrica envolvendo as equações do sistema também pode ser feita 
sobre as linhas da matriz.
Com isso em mente, as operações elementares sobre linhas que podem 
ser realizadas em uma matriz são:
 � multiplicar uma linha inteira por uma constante qualquer que seja 
diferente de zero;
 � fazer a troca de posições entre duas linhas;
 � somar um múltiplo de uma linha com outra linha.
Para exemplificar como essas operações são feitas, considere a seguinte 
matriz:
Para o primeiro tipo de operação, a multiplicação de uma linha inteira 
por uma constante significa multiplicar todos os elementos da linha por um 
número. Por exemplo, multiplique a segunda linha por 3: 
3 ∙ [1 –1] = [3 –3]
Então, a nova segunda linha ficaria:
Para o segundo tipo de operação, o processo de troca de posição entre duas 
linhas significa colocar a segunda linha no lugar da primeira, e a primeira 
linha no lugar da segunda:
Primeira linha = [2 3] → segunda linha
Segunda linha = [1 –1] → primeira linha
Logo:
Matrizes elementares e fatoração LU2
Para o terceiro tipo de operação, a soma de um múltiplo de uma linha com 
outra significa multiplicar todos os elementos de uma linha por um número e, 
depois, somar esse resultado à outra linha. Por exemplo, depois de multiplicar 
a segunda linha por 3, você pode somar esse resultado com a primeira:
Observe que essa operação produziu um elemento nulo na segunda coluna 
da primeira linha. 
Com efeito, uma matriz elementar é uma matriz quadrada que pode ser 
obtida a partir da matriz identidade de mesmo tamanho, por meio de uma 
única operação elementar sobre linhas.
Veja, a seguir, alguns exemplos.
1. A seguinte matriz é elementar, pois foi obtida da matriz identidade, por meio da 
multiplicação por 5 da primeira linha.
5 0
0 1
2. Esta matriz é elementar, pois foi obtida da matriz identidade, por meio da troca 
entre a primeira e a segunda linha.
0 1 0
1 0 0
0 0 1
3. A matriz, a seguir, é elementar, pois foi obtida da matriz identidade, por meio da 
multiplicação da última linha por 2, somada com a primeira linha.
1 2
0 1
3Matrizes elementares e fatoração LU
Uma propriedade fundamental das matrizes elementares diz respeito ao 
efeito que elas causam sobre outras matrizes. 
Se, por exemplo, uma matriz elementar E1 é resultado da multiplicação da 
primeira linha da matriz unidade por 2, então, a multiplicação dessa matriz 
elementar à esquerda de outra qualquer de mesmo tamanho, A, produzirá como 
único efeito a multiplicação da primeira linha de A por 2. 
Por exemplo, se E1 for dada por:
e a matriz A for:
A =
2 3
1 –1
então o produto E1A fica:
cujo resultado é igual a multiplicar por 2 a primeira linha da matriz A.
É possível realizar uma segunda operação elementar sobre linhas na ma-
triz A, multiplicando o produto E1A por uma segunda matriz elementar. Por 
exemplo, para a matriz elementar E2 dada por:
que é uma matriz elementar produzida pela multiplicação da primeira 
linha da matriz identidade por –3, somada com a segunda linha. Então, o 
resultado de E2E1A é:
que representa simplesmente a multiplicação da primeira linha da matriz 
E1A por –3 e, depois, somada com a segunda linha. Veja:
multiplicando a primeira linha de E1A por –3 e, depois, somando a segunda 
linha:
–3 ∙ [4 6] = [–12 –18]
[–12 –18] + [1 –1] = [–11 –19]
Matrizes elementares e fatoração LU4
o resultado é:
que é exatamente o mesmo de E2E1A. 
Desse modo, duas ou mais operações elementares realizadas sobre uma 
matriz A qualquer podem ser obtidas pela multiplicação sucessiva das matrizes 
elementares que produzem tais operações sobre linhas.
A aplicação sucessiva de duas operações elementares a e b, respectivamente, sobre 
uma matriz A, implica uma mesma ordem de aplicação das matrizes elementares 
representativas dessas operações: EbEaA.
Portanto, o conceito de matrizes elementares é fundamental para a resolu-
ção de sistemas de equações lineares, pois permite o desenvolvimento de um 
algoritmo-padrão para a realização de operações elementares sobre as linhas 
da matriz dos coeficientes do sistema, a fim de solucioná-lo. 
Inversão de matrizes
Um aspecto importante sobre as operações elementares é que a mudança gerada 
por uma operação pode ser desfeita por meio de outra operação elementar. 
Considere a matriz elementar:
obtida da matriz identidade, multiplicando a primeira linha por 5. Essa 
operação pode ser desfeita por meio da multiplicação da primeira linha por 
1/5; ou seja, multiplicando E1 pela matriz elementar:
5Matrizes elementares e fatoração LU
Observe com atenção: como a primeira matriz elementar E1 tem origem na 
matriz identidade I por meio de uma operação elementar, então, desfazer essa 
operação elementar implica retornar à matriz identidade. E, por isso, a matriz 
elementar que desfez a operação dada por E1 foi propositalmente denotada por 
, pois ela representa a matriz inversa de E1. De fato, observe que:
Outro exemplo que você viu foi o da matriz elementar:
obtida da matriz identidade por meio da troca entre a primeira e a segunda 
linha. Essa operação pode ser desfeita mediante a realização de uma nova troca 
entre a primeira e a segunda linha. Logo, nesse caso, = E2, e, por isso:
De fato, o cálculo do quadrado da matriz E2 resulta na matriz identidade:
Nesse caso, vale a pena notar que essa matriz elementar é ortogonal, pois 
 = E2
T, ou seja, a matriz inversa é igual à matriz transposta e, também, 
uma matriz simétrica, já que = E2 implica que E2
T = E2.
A matriz elementar do tipo 3 × 3, que faz a troca da primeira linha com a terceira, 
também é uma matriz ortogonal e simétrica. 
Matrizes elementares e fatoração LU6
Um outro exemplo importante envolve a seguinte matriz complementar:
obtida da matriz identidade por meio da multiplicação da última linha por 
2, somada com a primeira linha. Essa mudança pode ser desfeita pela multi-
plicação da última linha da matriz identidade por –2 e da soma do resultado 
com a primeira linha. Isto é, a matriz elementar que representa a matriz 
inversa de E3 é:
De fato, você pode verificar que:
Portanto, para uma dada matriz elementar, que representa uma operação 
elementar sobre a matriz identidade, sua matriz inversa é simplesmente a 
operação elementar inversa, ou seja, retorna-se novamente à matriz identidade. 
Toda matriz elementar contém uma matriz inversa que, por sua vez, também é uma 
matriz elementar.
O conceito de matriz elementar desempenhaum papel fundamental na 
construção de uma matriz. Para uma dada matriz quadrada A, que possui 
uma inversa, A–1, as seguintes proposições são válidas.
1. É sempre possível transformar A, por meio de sucessivas aplicações de 
matrizes elementares, em uma matriz identidade I:
En ... E2E1A = I
2. Pode-se representar A como um produto de matrizes elementares sobre I.
7Matrizes elementares e fatoração LU
Isso pode ser visto da seguinte maneira, desde que A–1A = I, então, pela 
proposição 1, você pode identificar diretamente que A–1 = En ... E2E1.
Agora, a inversa de A–1 é a própria matriz A:
(A–1)–1 = A 
Então:
(A–1)–1 = (En ... E2E1)
–1 = A
Como as matrizes elementares contêm inversas, vale a seguinte igualdade 
que se aplica ao cálculo da inversa de uma matriz resultante do produto entre 
outras matrizes:
Portanto:
Ou seja, como a matriz inversa de uma matriz elementar também é uma 
matriz elementar, esse resultado está de acordo com a proposição 2, vista 
anteriormente. Além disso, como a matriz A contém uma inversa, o produto 
da inversa de matrizes elementares também possui uma inversa. 
Os resultados fornecem duas importantes aplicações. A primeira aplicação 
possibilita resolver sistemas de equações lineares. Com efeito, pode-se aplicar 
as matrizes elementares para resolver sistemas de equações lineares. Isso 
pode ser feito utilizando a representação matricial de um sistema, dada pela 
equação matricial:
AX = B
Matrizes elementares e fatoração LU8
em que A é a matriz quadrada dos coeficientes, X é a matriz coluna das 
variáveis, e B é a matriz coluna das constantes. Você viu que En ... E2E1A = 1. 
Por isso, a aplicação sucessiva de matrizes elementares no lado esquerdo dessa 
equação matricial, e em ambos os lados dessa relação de igualdade, resulta em:
que é a solução do sistema de equações lineares. Como você pode notar, essa 
solução depende da existência da matriz inversa dos coeficientes do sistema. 
Agora, a segunda aplicação importante é fornecer um método para deter-
minar — quando existir — a inversa de uma matriz que, por tabela, também 
auxilia na solução de um sistema linear (que é a primeira aplicação). Se você 
multiplicar pela direita a equação matricial En ... E2E1A = I por A
–1, você obtém:
Ou seja, é possível obter a matriz inversa de A por meio de sucessivas 
multiplicações de matrizes elementares à esquerda da matriz identidade I. 
Dessa forma, comparando os seguintes resultados:
En ... E2E1A = I
A–1 = En ... E2E1I
você pode observar um conceito fundamental: as mesmas operações ele-
mentares sobre linhas (geradas pelo produto das várias matrizes elementares) 
que transformam a matriz A em uma matriz identidade I, também transformam 
a matriz identidade I na matriz inversa de A, que é dada por A–1.
9Matrizes elementares e fatoração LU
Com efeito, para que você possa encontrar a inversa de uma matriz A, basta 
executar uma sequência de operações elementares sobre linhas, que transforma 
A em uma matriz identidade; e, simultaneamente, essa mesma sequência de 
operações elementares sobre linhas para transformar I na matriz inversa de A. 
Para que você possa executar simultaneamente a mesma sequência de 
operações elementares sobre as matrizes A e I, é recomendável que você 
perfile as matrizes A e I, lado a lado, da seguinte maneira:
[A|I]
Veja que, embora as duas matrizes estejam uma do lado da outra, há uma 
divisória (simbolizada por |) que permite separá-las de forma individual.
A partir dessa configuração, a execução de operações elementares sobre 
A (lado esquerdo), que resultará na matriz I, ocorre simultaneamente sobre I 
(lado direito), cujo resultado é a matriz A–1:
Para exemplificar esse processo, considere a seguinte matriz:
Então, perfile-a junto à matriz I:
Agora, a ideia é realizar operações simultâneas sobre as linhas das ma-
trizes A e I perfiladas, que formam um tipo de “matriz 2 × 4”, de modo a 
transformar a matriz A, no lado esquerdo, em I. O que resultar no lado direito 
será identificado como sendo A–1. 
Matrizes elementares e fatoração LU10
Nesse exemplo, se você multiplicar a segunda linha por –2 e somar com 
a primeira linha:
–2 ∙ [0 1|0 1] + [1 2|1 0] = [1 0|1 –2]
o resultado será uma nova primeira linha:
Veja que, do lado esquerdo, já apareceu a matriz identidade, e, por con-
seguinte, a matriz do lado direito é necessariamente a matriz inversa de A:
É fácil você comprovar isso, mostrando que AA–1 = A–1A = I.
Fatoração LU
Em diversas situações evolvendo cálculos, torna-se útil a fatoração de um 
número, ou mesmo a fatoração de uma expressão matemática, para simplificar 
um cálculo. Veja os dois exemplos de fatoração a seguir:
a) 
b) 
A mesma ideia vale para as matrizes. O processo de fatoração de uma 
matriz implica escrever uma dada matriz como sendo o resultado do produto 
de duas ou mais matrizes. 
A aplicação dessa técnica é especialmente útil para a resolução de sistemas 
de equações lineares, pois fornece uma alternativa operacional direta e simples 
de ser executada. Por isso, ela também é bastante empregada em computadores 
para a execução de processos que envolvam muitos cálculos. 
Um caso particular da fatoração de matrizes é a denominada fatoração 
LU, que consiste em escrever uma dada matriz A, que possui inversa, como 
sendo o produto de outras duas matrizes, L e U, de modo que:
A = LU
11Matrizes elementares e fatoração LU
A matriz U é obtida a partir da aplicação do método de eliminação de 
Gauss sobre A. Ou seja, a partir da operação elementar sobre linhas aplicadas 
à matriz A, é possível transformá-la em uma matriz triangular superior U:
En ... E2E1A = U
Multiplicando, pela esquerda, os dois lados dessa relação por (En ... E2E1)
–1, 
você obtém:
Desde que:
chega-se finalmente à relação:
Aqui, a matriz é uma matriz triangular inferior, desde 
que não se tenha feito trocas de linhas na aplicação do método de eliminação 
Gauss para obter a matriz U.
Se uma matriz quadrada A pode ser reduzida à forma escalonada, U, por meio do 
método de eliminação de Gauss sem troca de linhas, então, essa matriz pode ser 
fatorada como A = LU, em que a matriz L é uma matriz triangular inferior.
Matrizes elementares e fatoração LU12
Para você entender o procedimento de como realizar a fatoração LU para 
uma dada matriz, considere a seguinte matriz do tipo 2 × 2:
Aplicando-se o método de eliminação de Gauss, você pode multiplicar 
a primeira linha de A por 3 e somar com a segunda linha, obtendo, assim, a 
matriz U:
Essa operação elementar realizada sobre A também corresponde à aplicação 
da matriz elementar obtida pela multiplicação da primeira linha da matriz 
identidade por 3, depois, somada com a segunda linha:
Veja:
Com efeito, a matriz L é obtida simplesmente por calcular a matriz inversa 
de E:
Nesse caso, se você multiplicar a primeira linha por –3 e, depois, somar 
com a segunda linha:
você já tem, do lado esquerdo, a matriz identidade e, portanto:
13Matrizes elementares e fatoração LU
Logo, a matriz L fica:
Claro que você poderia ter obtido esse mesmo resultado observando que a 
operação elementar sobre linhas contrárias à realizada para obter a matriz U 
é de multiplicar a primeira linha da matriz identidade por –3 e, depois, somar 
com a segunda linha (que tem o mesmo efeito de multiplicar a primeira linha 
da matriz identidade por 3 e, depois, fazer a subtração com a segunda linha):
Assim, onde aparece o fator 3 na matriz elementar E, aparecerá o fator –3 
na matriz L. Desse modo, a fatoração LU para a matriz A é dada por:
De modo geral, para se fazer a fatoração LU de uma dada matriz A, basta 
registrar as matrizes elementares que conduziram à forma escalonada U da 
matriz A e, então, calcular a matriz inversa dessas matrizes elementares, cujo 
produto em ordem invertida delas resulta na matriz L.
Como você já deve ter percebido, a maior parte do trabalho para fazer 
a fatoração LU consiste em encontrar L. No entanto, você pode construir a 
matrizL mais facilmente, notando que:
Observe que, no caso de E1, obtida pela multiplicação do primeiro ele-
mento da matriz identidade por 5 (e cuja ação sobre outra matriz consiste em 
multiplicar o elemento correspondente por 5), a sua matriz inversa, , é 
obtida simplesmente dividindo por 5 o primeiro elemento. Já para a matriz 
elementar E2, obtida pela multiplicação da primeira linha da matriz identidade 
por 3, que, depois, foi somada com a segunda linha, a sua matriz inversa, 
, é obtida pela multiplicação da primeira linha da matriz identidade por 3, 
depois subtraída da segunda linha. Em outras palavras, a matriz inversa de 
Matrizes elementares e fatoração LU14
uma matriz elementar corresponde exatamente à operação algébrica inversa 
da matriz elementar. Se a ação da matriz elementar é multiplicar, a matriz 
inversa dividirá; se a ação da matriz elementar é somar uma linha, a matriz 
inversa subtrairá uma linha.
Veja, agora, como a fatoração LU é empregada para se obter a solução de 
um sistema de equações lineares. A representação matricial do sistema é do 
tipo AX = B. Como a matriz dos coeficientes pode ser posta na forma A = LU, 
então, a equação matricial do sistema fica:
LUX = B
Agora, essa equação matricial pode ser separada em outras duas:
LY = B e UX = Y
Desse modo, primeiro você resolve a equação matricial auxiliar LY = B, 
determinando, assim, a matriz Y. Depois, você substitui esse resultado na 
equação matricial UX = Y, determinando a matriz X, e, portanto, resolvendo 
o problema. A vantagem desse processo é que o formato escalonado das 
matrizes L e U permite uma solução direta e rápida para as matrizes Y e X, 
respectivamente. 
Como exemplo de resolução de um sistema de equações lineares pelo mé-
todo da fatoração LU, considere o seguinte sistema de duas equações lineares:
A matriz dos coeficientes é dada por:
cuja fatoração LU está dada logo acima:
U = –1 1 0 5 L = 
 1 0
–3 1
,
15Matrizes elementares e fatoração LU
Além disso, a matriz das variáveis é:
e a matriz das constantes é:
Sendo:
a primeira equação matricial LY = B fica:
Logo, y1 = 6 e y2 = 7 + 3(6) = 25. Assim:
Agora, usando a equação matricial UX = Y:
Logo, x2 = 5 e x1 = x2 – 6 = –1. 
Portanto:
é a solução do sistema de equações lineares proposto. 
Talvez, para um sistema do tipo 2 × 2, a fatoração LU possa não parecer 
tão fácil de ser usada. Afinal, nesse caso, até mesmo uma tentativa direta 
pode ser bem-sucedida. Mas o valor da fatoração LU prova-se para situações 
envolvendo conjuntos de sistemas e equações lineares de tamanho maior.
Matrizes elementares e fatoração LU16
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 2006. 
612 p.
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 
2012. 786 p.
Leitura recomendada
CRISPINO, M. L. 320 questões resolvidas de álgebra linear. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 
2012. 352 p.
17Matrizes elementares e fatoração LU