Qual a definição mais fácil de espaço e subespaço vetorial?

ESPAÇO VETORIAL

Se V é um espaço vetorial sobre um corpo K, valem as propriedades:

1. Para todo k K segue que k.θ = θ.

2. O vetor nulo θ é único.

3. Para todo v V tem-se que 0.v = θ.

4. Para cada v V o vetor oposto −v V é único.

5. Seja k K e v V. Se k.v=θ então k=0 ou v=θ.

6. Se v+u=v+w para u,v,w V, então u=w.

7. Quaisquer que sejam v,w V, existe um único u V tal que v+u=w.

8. Para todo k K e para todo v V segue que

(−k).v = −(k.v) = k.(−v)

SUB ESPAÇO VETORIAL

Seja (V,+,.) um espaço vetorial sobre um corpo K e S um subconjunto não vazio de V. S é um subespaço vetorial de V se S for um espaço vetorial, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para V. É comum escrever (S,+,.) para um subespaço. Para mostrar que (S,+,.) é um subespaço vetorial, podemos mostrar que esta estrutura possui as oito propriedades de espaço vetorial V ou usar uma das duas caracterizações seguintes:

Teorema I caracterizando subespaço vetorial: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto S é um subespaço vetorial de V se:

1. S é não vazio.

2. Se v,w S, então v+w S.

3. Se k K e v S, então k.v S.

Teorema II caracterizando subespaço vetorial: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto S é um subespaço vetorial de V se:

1. O vetor nulo de V pertence ao conjunto S.

2. Se v,w S e p, q K, então p.v + q.w S.

Observação: É comum usarmos a palavra subespaço no lugar de subespaço vetorial e espaço ao invés de espaço vetorial quando não houver problemas de entendimento.